Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Вариант № 25

PDF Печать E-mail

В задачах 1-9 найти общие решения уравнений и частные решения, если есть начальные условия.

1. . Уравнение является однородным. Сделаем замену Тогда . Получим уравнение , или . Разделяем переменные: . Знаменатель справа разлагается на множители: . Следовательно, . Или . Отсюда находим:

. Или . Интегрируем уравнение: . Получим: или . Потенцируем: . Вернёмся к переменной Y, делая обратную замену U=Y/X: . Определим постоянную С из начальных условий: , отсюда C=1. Подставляя это значение в общее решение, получим частное решение: . Ответ: .

2. . Уравнение является линейным. Решим его методом Бернулли. Будем искать решение в виде произведения Y=U∙V, где U и V неизвестные функции, определяемые в данном случае уравнениями и или . Решим первое уравнение: или . Отсюда (произвольная постоянная добавляется при решении второго уравнения). Потенцируя, находим: . Подставим найденную функцию U во второе уравнение и решим его: или . Тогда . Таким образом, общее решение имеет вид: . Найдём C, исходя из начальных условий: . Тогда . Таким образом, частное решение есть . Ответ: .

3. . Это уравнение Бернулли. Его можно решать непосредственно как линейное уравнение, применяя метод вариации произвольной постоянной. Решим однородное уравнение: или . Отсюда находим . Будем предполагать, что решение исходного уравнения имеет такую же структуру, но C=C(X), т. е. , где C(X) – некоторая неизвестная функция. Определим эту функцию, подставляя данное (предполагаемое) решение в исходное уравнение. Найдём . Тогда . Или . Разделяем переменные: . Интегрируем уравнение: или . Общее решение уравнения или . Воспользуемся начальными условиями: , т. е. C1=2. Тогда частным решением будет .

Ответ: .

4. .

Найдём частные производные: , . Следовательно, уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Левая часть этого уравнения представляет полный дифференциал некоторой функции U(X,Y), так что и . Проинтегрируем второе уравнение по Y:

. Таким образом, , где φ(X) – произвольная функция. Найдём эту функцию, пользуясь первым уравнением. С одной стороны . С другой стороны, . Приравнивая эти выражения, получим: . Отсюда, . Согласно уравнению, DU=0. Решением уравнения будет U(x, y)=C. В данном случае . Ответ: .

5. Уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. В уравнении отсутствует независимая переменная X. Сделаем замену . Тогда . Получим уравнение первого порядка: . Решение не удовлетворяет начальным условиям. Решаем уравнение . Это линейное уравнение. Решим его методом Бернулли: . Функцию U найдём из уравнения . Или . Функцию V найдём из уравнения . Решение не удовлетворяет начальным условиям. Тогда . Подставляя сюда функцию U, получим: . Таким образом, . Определим постоянную C1, пользуясь начальным условием : . Следовательно, . Тогда . Определим C2, пользуясь вторым начальным условием : . Окончательно, или , так как косинус гиперболический является чётной функцией. Ответ: .

6. Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Решим уравнение методом вариации произвольных постоянных. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два корня: . Получаем два частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Будем считать, что решение неоднородного уравнения имеет такую же структуру, но С1 и С2 являются функциями переменной Х: . Тогда, в соответствии с методом вариации произвольных постоянных, неизвестные функции С1(Х) и С2(Х) определяются системой уравнений: , где F(X) – правая часть неоднородного уравнения. В данном случае имеем систему: . Складывая и вычитая уравнения, получим: . Интегрирем:

, . Следовательно, решением неоднородного уравнения будет или . Теперь можно вернуться к прежним обозначениям произвольных постоянных. Положим С1=С3 и С2=С4. Окончательно, .

Ответ:.

7. . Линейное неоднородное уравнение третьего порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение , или , имеет три корня: . Получаем три частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Найдём производные YЧн:: . Подставим это в исходное уравнение:

. Отсюда находим

. Или . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: .

Ответ: .

8. . Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два корня: . Получаем два частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Найдём производные YЧн:: . Подставим это в исходное уравнение: . Отсюда находим или . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: . Воспользуемся начальными условиями: . По первому условию . Найдём . Тогда, по второму условию, . Решая систему уранений, получим: . Частное решение уравнения будет . Ответ: .

9. . Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два корня: . Получаем два частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Найдём производные YЧн::

, . Подставим это в исходное уравнение:

. Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях равенства, получим: . Или: . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: .

Ответ: .

10. Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами , где - функции от T, M – матрица коэффициентов, при начальных условиях :

.

Запишем систему по исходным данным:

. Ищем решение в виде . Тогда . Подставляя это в систему, получим систему алгебраических уравнений, которая определяет неизвестные коэффициенты : . Приравнивая определитель системы к нулю, получим характеристическое уравнение исходной системы: . Раскроем определитель: . Или . Следовательно, . При получим систему: . Отбросим второе уравнение, как линейно зависимое. Получим . Положим . Тогда . Получили первое частное решение: . При получим систему: . Отбросим первое уравнение, как линейно зависимое. Получим . Или . Положим . Тогда . Получили второе частное решение: .

При получим систему: . Отбросим первое уравнение, как линейно зависимое. Получим . Полагая . Тогда . Получили третье частное решение: . Общее решение записывается как линейная комбинация частных решений: .

Найдём произвольные постоянные, пользуясь начальными условиями. При T=0 получим систему: . Складывая первое уравнение со вторым, затем первое с третьим, получим: . Следовательно, . Таким образом, частное решение системы следующее: . Ответ: . (Ошибка в ответе.)

11. Найдите кривые, у которых площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и отрезком от начала координат до точки касания, есть величина постоянная, равная .

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид . Найдём точку пересечения касательной с осью ОХ. Положим Y=0. Тогда или . Точка является точкой пересечения оси ОХ. По условию задачи площадь треугольника равна , т. е. . Или . Это равенство справедливо для любой точки . Заменим эту точку произвольной точкой , лежащей на кривой . Получим: , или . Решаем однородное уравнение: . Предполагая, что решениием неоднородного уравнения будет функция , найдём : . Таким образом, . Заменим здесь C1 на C: . Ответ: .

12. Последовательно включёны: сопротивления и конденсатор ёмкости , заряд которого при равен . Цепь замыкается при . Найти силу тока в цепи, если падение напряжения на сопротивлении равно ; на конденсаторе равно .

По закону Кирхгоффа сумма напряжений в замкнутой цепи равна нулю. В данном случае . Путём дифференцирования перейдём к дифференциальному уравнению и решим его: . Известно, что в начальный момент заряд на конденсаторе был равен . Заряд на конденсаторе определяется формулой (знак заряда определяет направление движения электронов). Тогда при напряжение на конденсаторе было равно , а исходное уравнение при имеет вид: . Следовательно, (если взять заряд положительным, то ток имел бы знак минус). Ответ: .

 
Яндекс.Метрика
Наверх