Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Вариант № 01

PDF Печать E-mail

В задачах 1-9 найти общие решения уравнений и частные решения, если есть начальные условия.

1. . Уравнение является однородным. Сделаем замену Тогда . Получим уравнение , или . Запишем уравнение в дифференциалах: . Разделяем переменные:

. Корни знаменателя в левой части равны u1=−1 и u2=−2. Следовательно,

. Или . Из этого следует:

A=1 и B=−1. Интегрируем уравнение: . Получим:

. Потенцируем: . Умножим равенство на U+2 и вернёмся к переменной Y, делая обратную замену U=Y/X: . Умножим равенство на X и разрешим его относительно Y: . Определим постоянную С из начальных условий: , отсюда C=2/3. Подставляя это значение в общее решение, получим частное решение: . Ответ:

2. . Уравнение является линейным. Решим его методом Бернулли. Будем искать решение в виде произведения Y=U∙V, где U и V неизвестные функции, определяемые в данном случае уравнениями и . Решим первое уравнение: или . Отсюда (произвольная постоянная добавляется при решении второго уравнения). Потенцируя, находим: . Подставим найденную функцию U во второе уравнение и решим его: или

. Таким образом, общее решение имеет вид: . Найдём C, исходя из начальных условий: или . Следовательно, C=−1. Таким образом, частное решение есть . Ответ: .

3. . Это уравнение Бернулли. Его можно решать непосредственно как линейное уравнение, применяя метод вариации произвольной постоянной. Решим однородное уравнение: или . Отсюда находим . Будем предполагать, что решение исходного уравнения имеет

такую же структуру, но C=C(X), т. е. , где C(X) – некоторая неизвестная функция. Определим эту функцию, подставляя данное (предполагаемое) решение в исходное уравнение. Найдём .

Тогда . Или

. Разделяем переменные: . Интегрируем уравнение: . Следовательно, . Общие решение уравнения . Воспользуемся начальными условиями: , т. е. C1=0. Тогда частным решением будет или . Ответ: .

4. Объединим слагаемые, содержащие Dx:

Тогда

, . Следовательно, уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Левая часть этого уравнения представляет полный дифференциал некоторой функции U(X,Y), так что

и . Проинтегрируем второе уравнение по Y:

. Таким образом, , где φ(X) – произвольная функция. Найдём эту функцию, пользуясь первым уравнением. С одной стороны

. С другой стороны, . Приравнивая эти выражения, получим: . Отсюда, . Согласно уравнению, DU=0. Решением уравнения будет U(x, y)=C. В данном случае

Ответ:

5. Уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. В уравнении отсутствует искомая функция Y. Сделаем замену . Тогда . Получим линейное уравнение первого порядка: . Решим его методом Бернулли: . Функцию U найдём из уравнения . Или . Функцию V найдём из уравнения . Подставляя сюда функцию U, получим: . Таким образом, . Определим постоянную C1, пользуясь начальным условием : . Следовательно, . Тогда . Или . Определим C2, пользуясь вторым начальным условием : . Окончательно, . Ответ: .

6. Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Решим уравнение методом вариации произвольных постоянных. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два корня: . Получаем два частных решений: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Будем считать, что решение неоднородного уравнения имеет такую же структуру, но С1 и С2 являются функциями переменной Х: . Тогда, в соответствии с методом вариации произвольных постоянных, неизвестные функции С1(Х) и С2(Х) определяются системой уравнений:

, где F(X) – правая часть неоднородного уравнения. В данном случае имеем систему: . Решим систему методом Крамера:

. Интегрируя, получаем: . Следовательно, решением неоднородного уравнения будет . Теперь можно вернуться к прежним обозначениям произвольных постоянных. Положим С4=С1 и С3 =С2. Окончательно, .

Ответ: .

7. . Линейное неоднородное уравнение третьего порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет три корня: . Получаем три частных решений: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное

решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Здесь множитель Х2 обусловлен тем, что корень характеристического уравнения R=0 имеет кратность 2. Значение этого корня совпадает с коэффициентом α в экспоненте EαX, «стоящей» в правой части уравнения (α=0). Найдём производные YЧн:: . Подставим это в исходное уравнение:

. Отсюда находим . Или . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: . Ответ: .

8. . Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два корня: . Получаем два частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Здесь множитель Х обусловлен тем, что корень характеристического уравнения R1=−1 имеет кратность 1. Значение этого корня совпадает с коэффициентом α в экспоненте EαX, «стоящей» в правой части уравнения (α=−1). Найдём производные YЧн::

. Подставим это в исходное уравнение:

. Отсюда находим . Или . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: . Воспользуемся начальными условиями: . По первому условию . Найдём . Тогда, по второму условию, . Решая систему , находим: . Частное решение уравнения будет . Или .

Ответ: .

9. . Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два корня: . Получаем два частных решений: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Найдём производные YЧн:: . Подставим это в исходное уравнение:

. Отсюда находим . Или . Следовательно, .

Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: .

Ответ: .

10. Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами , где - функции от T, M – матрица коэффициентов, при начальных условиях :

.

Запишем систему по исходным данным:

. Ищем решение в виде . Тогда . Подставляя это в систему, получим систему алгебраических уравнений, которая определяет неизвестные коэффициенты : . Приравнивая определитель системы к нулю, получим характеристическое уравнение исходной системы: . Раскроим определитель: . Или . Следовательно, . При получим систему: . Отбросим третье уравнение, как линейно зависимое. Получим . Положим . Тогда . Получили первое частное решение: . При получим систему: . Отбросим второе уравнение, как линейно зависимое. Получим . Положим . Тогда . Получили второе частное решение: .

При получим систему: . Отбросим второе уравнение, как линейно зависимое. Получим . Положим . Тогда . Получили третье частное решение: . Общее решение записывается как линейная комбинация частных решений: .

Найдём произвольные постоянные, пользуясь начальными условиями. При T=0 получим систему: . Исключим С1, складывая первое уравнение со вторым и второе уравнение с третьим. Получим: . Следовательно, . Таким образом, частное решение системы следующее: .

Ответ: .

11. Найти уравнение кривой, если длина отрезка касательной от точки касания до пересечения с осью ОХ имеет постоянную длину А.

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид . Найдём точку пересечения касательной с осью ОХ. Положим Y=0. Тогда или . Точка является точкой пересечения. Расстояние от этой точки до точки касания есть величина постоянная и равна А, т. е. . Или . Это равенство справедливо для любой точки . Заменим эту точку произвольной точкой , лежащей на кривой . Получим: или . Разделяем переменные: . Интегрируем:

. Ответ: .

12. По закону Торричелли скорость истечения жидкости равна , где X – высота уровня жидкости над отверстием. Определить время истечения жидкости из цилиндрического бака с вертикальной осью диаметра 2L=4м и высотой H=6м через круглое отверстие в дне диаметром 2R=1/6м.

Обозначим через Y(T) объём жидкости в баке в момент времени T. Очевидно, что или , где X=X(T) – высота уровня жидкости в баке в момент времени T. Тогда начальный объём жидкости будет равен . Сечение круглого отверстия в дне равно . Следовательно, скорость уменьшения объёма жидкости будет равна . Учитывая, что объём уменьшается (производная отрицательна), получим уравнение: . Разделяем переменные: . Интегрируя, получим: . Найдём постоянную С. При t=0 объём равен , т. е. . Следовательно, . По истечению всей жидкости получим Y=0, т. е. . Отсюда находим: или . Подставляя сюда все числовые данные и делая вычисления, получим: мин.

Ответ: Мин.

 
Яндекс.Метрика
Наверх