Вариант № 22

Задача 1 Разложить вектор По векторам и .

Пусть , т. е. ;

След., вектор .

Задача 2 Найти длину вектора , если

Вычислим

.

Задача 3 Найти проекцию вектора на ось, Составляющую с координатными осями углы, если

Рассм. вектор ;

Рассм. единичный направляющий вектор данной оси ;

; величину Вычислим из условия: ;

; ;;

; вычислим ; .

Задача 4 Вычислить проекцию , если

Рассм. вектор ;

; вычислим ;

.

Задача 5 Найти момент силы , приложенной в точке относительно точки , а также модуль и направляющие косинусы вектора силы

1) , где ; ;

;

2) ;

Направл. косинусы вектора : ; ; .

Задача 6 При каких вектор будет коллинеарен вектору , если ?

Рассм. вектор ;

Задача 7 Вычислить объём пирамиды с вершинами в точках

Рассм. векторы ;

И рассм. смешанное произведение ;

Искомый объём пирамиды равен .

Задача 8 В треугольнике известны координаты вершин: .

Найти угол и составить уравнение средней линии, параллельной стороне

1) определим угол из равенства: ;

Рассм. векторы ;

Вычислим ;

;

2)составим уравнение средней линии ; вычислим координаты точек : ;

;

Составим теперь уравнение прямой : .

Задача 9 В равнобочной трапеции известны координаты трёх вершин: Найти координаты вершины и острый угол, если стороны параллельны.

1) Рассм. векторы

И рассм. скал. произведение след. - острый (- равные острые углы трапеции ); вычислим

;

2) составим уравнение стороны как прямой, проходящей через точку Параллельно

Прямой

Составим уравнение прямой из условия, что она пересекает прямую Под острым углом :

Рассм. угол между прямыми :

Вычислим ;

уравнение прямой :

Определим координаты точки Как точки пересечения прямых :

.

Задача 10 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки параллельно оси

Пусть - искомая плоскость;

Рассм. вектор ; рассм. направл. вектор оси ;

Рассм. норм. вектор ;

Рассм. произв. т. И рассм. вектор ;

, т. е. ;

Задача 11 Составить уравнение медианы треугольника , проведённой из вершины , если и .

1)Определим координаты точки (середины стороны ):

2)составим уравнение медианы Треугольника Как уравнение прямой, проходящей через точки :

.

Задача 12 Составить канонические уравнения прямой , которая, проходит через точку параллельно плоскости и пересекает прямую .

Рассм. норм. вектор плоскости и направл. вектор Прямой ;

Рассм. т. и рассм. векторы ;

Пусть - плоскость, в которой лежат прямые ; тогда векторы ;

Рассм. вектор ; вектор , след. ;

Векторы , след. векторное произведение можно взять в качестве направл. вектора прямой;

; выберем ;

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно

Вектору : ; параметрические ур-я прямой :

Задача 13 Вычислить определитель третьего порядка, пользуясь определением; результат проверить разложением

Определителя по первой строке.

1) Непосредственное вычисление:

2) Разложение по 1-й строке:

.

Задача 14 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы:

Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1), где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы : ,

след., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул: , , , где ,

;

;

; , , ;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме: вектор–решение с-мы (1): ;

2) получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. : , след., матр.- невырожденная

И существует обратная матр. ; умножим рав-во (1) слева на матрицу : , ;

Вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

Транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

Находим теперь вектор-решение

Задача 15 Установить, являются ли векторы линейно зависимыми.

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно зависима.

Задача 16 Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности найти её решение методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

Имеем ; так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й несовместна.

Задача 17 Найти матрицу преобразования, выражающего Через , если

Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы и

Вектор - столбцы имеют вид:

Рассм. ;

Вычислим матрицу

Задача 18 Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения :

Рассм.

; - собств. значения (действ. и различные ) лин. преобр-я ;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм. ;

Рассм. Пусть , тогда вектор ;

Б) рассм.

Рассм.

Пусть , тогда , вектор ;

В) рассм.

рассм.

Пусть , тогда , вектор ;

След. собств. векторы линейного преобразования суть:

; ; .