Вариант № 04

Задача 1 Разложить вектор По векторам и .

Пусть , т. е.

След., вектор .

Задача 2 Дано: Найти

Вычислим

.

Задача 3 Вычислить проекцию вектора на ось вектора , Если

Вект. ; рассм. ;

Вычислим ; ; ;

Задача 4 Дано: Найти, при каком векторы Будут взаимно перпендикулярны.

;

Рассм. .

Задача 5 Найти момент силы, приложенной в точке относительно точки, а также модуль и направляющие косинусы вектора силы

1) , где ; ;

;

2) ; направл. косинусы вектора :

Задача 6 Вычислить площадь треугольника с вершинами

Рассм. векторы ;

Рассм. вектор ;

; .

Задача 7 При каком векторы будут компланарны?

;

Рассм.

Задача 8 Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой, соединяющей точки

Рассм. в-р ; ур-е прямой , проходящей через Параллельно в-ру , можно записать в виде: (канонические ур-я прямой ) или в виде .

Задача 9 В квадрате заданы вершина и точка пересечения диагоналей . Составить уравнения сторон и найти координаты остальных вершин.

1) Опред. коорд. вершины С квадрата из условия, что т. - середина отрезка :

2) CОставим ур-е диагонали :

3) рассм. ур-я прямых на пл-ти , проходящих через т. А : ;

Выберем из этих прямых те, которые составляют угол с диагональю

( ), т. е. прямые, для которых вып-ся след. соотношения:

А) рассм. случай ;

Б) рассм. случай

4) опред. коорд. вершин квадрата :

А) опред. коорд. вершины :;

Б) опред. коорд. вершины :.

Задача 10 Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор

Пусть - искомая плоскость; Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е. ; .

Задача 11 Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору .

Пусть - искомая прямая; запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через

Параллельно вектору : ;

След. параметрические ур-я прямой имеют вид:

Задача 12 Составить уравнение плоскости , проходящей через прямую и т..

Направл. в-р прямой есть ; рассм. И рассм. вектор

;

Вект. произв-е Будет нормальным вектором искомой плоскости :

Вычислим ;

Теперь запишем ур-е пл-ти Как пл-ти, проходящей через т. перпендикулярно вектору :

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

,

Задача 13 Вычислить определитель третьего порядка, пользуясь определением; результат проверить разложением

Определителя по первой строке.

1) Непосредственное вычисление:

2) Разложение по 1-й строке:

.

Задача 14 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы.

Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) , где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы : ,

след., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:

, , , где ,

; ;

; , , ;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме: вектор–решение с-мы (1): ;

2) получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. : , след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ; умножим рав-во (1) слева на матрицу : , ;

Вычислим обратную матр. : находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

;

Транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу ;

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. ;

Находим теперь вектор-решение : .

Задача 15 Установить, являются ли векторы линейно зависимыми.

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и

Приведём её к ступенчатому виду:

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно независима.

Задача 16 Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности найти её решение методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

Имеем ; так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система уравнений совместна, а так как , то система имеет единственное решение;

Выпишем решение системы в координатной форме:

;

решение данной системы ур-й:

Задача 17 Найти матрицу преобразования, выражающего Через , если

Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы и

Вектор - столбцы имеют вид:

;

Рассм. ;

Вычислим матрицу

Задача 18 Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

.

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения

:

Рассм.

;

- собств. значения (действ. и различные ) линейного преобразования;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм. ;

Рассм.

Пусть , тогда вектор ;

Б) рассм. ;

Рассм.

Пусть , тогда , вектор ;

В) рассм. ;

Рассм.

Пусть , тогда , вектор ;

След. собств. векторы линейного преобразования суть:

.