Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии, теория вероятности
Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии
ЗАДАЧА 1.
В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды А1 В1 С1 D1. Найдите:
А) длину ребра А1 В1;
Б) косинус угла между векторами
;
В) уравнение ребра А1 В1;
Г) уравнение грани А1 В1 С1;
Д) уравнение высоты, опущенной из вершины D1 на грань А1 В1 С1;
Е) координаты векторов 
, 
, 
, и докажите, что они образуют линейно независимую систему;
Ж) координаты вектора 
, где 
— середины ребер А1 D1 и В1 С1, соответственно;
З) разложение вектора по базису 
если А1(-2,2,2), В1(1,-3,0), С1(6,2,4), D1(5,7,-1).
А) Найдем координаты вектора 
По формуле:
= 
XВ
- XА; YВ- YА; ZВ- ZА
, где (ХА, YА, ZА) – координаты точки А1, (ХВ, YВ, ZВ) – координаты точки В1.
Итак, 
= 
Тогда 
= 
.
Итак, длина отрезка (или длина вектора ) равна 
. Это и есть искомая длина ребра;
Б) Координаты вектора = 
Уже известны, осталось определить координаты вектора 
: =
.
Угол между векторами и Вычислим по формуле Cos
=
,
Где скалярое произведение векторов ИРавно (,)= 3 ´ 8 + (-5) ´ 0 + (-2) ´2 =
= 24 + 0 - 4=20, =, 
= 
Итак, Cos=
=
;
В) Координаты точки А1(-2,2,2) обозначим соответственно Х0 = -2, У0 = 2, Z0=2, а координаты точки В1 (1,-3,0) через Х1=1, У1 = -3, Z1=0 и воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через две точки: 
.
Следовательно, уравнение ребра А1В1 имеет вид 
или 
;
Г) Обозначим координаты векторов И Через Х1=3, У1= -5, 
1= -2 и Х2=8, У2= 0, 2=2, соответственно. Векторное произведение данных векторов определяется формулой:
Так как данный вектор перпендикулярен грани А1 В1 С1, то можно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через точку (Х0, У0, 0) перпендикулярно вектору 
, которое имеет вид:
А 
.
Подставим координаты точки А1 (Х0=-2, У0=2, 0=2) и координаты перпендикулярного вектора А=-10, В=-22, С=40 в это уравнение:
– 10 ( Х + 2 ) - 22 (У - 2) + 40 (- 2) = 0. Раскроем скобки и приведем подобные члены – 10 х – 22 у + 40z + (- 20 + 44-80)=0. Итак, уравнение грани А1 В1 С1 имеет вид: -10х - 22у + 40 z-56=0 или -5х - 11у + 20 z - 28=0;
Д) Вектор 
Является направляющим вектором высоты, опущенной из вершины D1 на грань А1В1С1. Воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через точку 
с заданным направляющим вектором: 
, где 
– координаты точки D1. Отсюда искомое уравнение: 
или 
;
Е) Координаты вектора 
=
=
.
Обозначим 
=
,
=
, 
.
Чтобы доказать, что векторы 
образуют линейно независимую систему векторов необходимо убедиться, что определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов,
Отличен от 0. Определитель третьего порядка равен
=
- 
+
=
=
Вычислим определитель:
=3
– (–5)
+(–2)
= 3
(0(–3) – 52)+5(8(–3) – 72) –
- 2(85 – 70) =3(–10)+5(–24 – 14) – 240=–30 – 190 – 80 = –300.
Так как данный определитель отличен от 0, то вектора образуют линейно независимую систему;
Ж) Сначала найдем координаты точек М и N, соответственно. Координаты точки
М =
= 
= 
N =
=
=
.
Получаем вектор 
=
;
З) Обозначим через 
Координаты вектора В базе .
Тогда =
= 
.
Так как 
=
+
+
;
=
+
+
=
,
То приравнивая соответствующие координаты, получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
(1) 
Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера
(см. 
глава 10, стр. 268). Рассмотрим произвольную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
(2) 
Тогда 
=
z
, где:
Для системы (1) определитель:
=3
–8
+7
=
= 3 ( –10) – 8( 15 + 10 ) + 7 ( –10) = –30 – 200 – 70 = –300;
= 2
–8 
+7
=
=3
–2
+7
=
=3
=3
–8
+2=
=
По формулам Крамера 
Итак, разложение вектора по базису (
) имеет вид:
= 
ЗАДАЧА 2.
Решите систему линейных уравнений
А) методом Крамера;
Б) методом Гаусса;
В) с помощью обратной матрицы
А) метод Крамера состоит в решении системы линейных уравнений по формулам Крамера 
,
Где 
(подробности смотрите в пункте З) задачи 1.
Так как 
; то 
Б) решим данную систему уравнений методом Гаусса. Метод Гаусса состоит в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последнего уравнения, легко находят все неизвестные системы:
Составим расширенную матрицу данной системы.
.
Поменяем местами первую и вторую строки матрицы чтобы в ее левом верхнем углу была единица. Получим матрицу:
.
Умножим каждый элемент первой строки матрицы на 4 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам второй строки. Матрица примет вид:
=
.
Умножим каждый элемент первой строки матрицы на –3 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки. Получим:
=
.
Разделим каждый элемент второй строки матрицы на 4, чтобы второй элемент, стоящий на главной диагонали матрицы, стал равным 1:
.
Умножим каждый элемент второй строки матрицы на –8 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки:
.
Данная матрица соответствует системе уравнений 
, решение которой совпадает с решением исходной системы. Начиная с последнего уравнения, несложно найти все неизвестные.
Действительно, так как 
и 
, то 
Отсюда, 
Из 
имеем 
Ответ: 
.
В) решение системы в этом случае равно 
= 
, где :
= 
– обратная матрица для матрицы =
, 
– столбец свободных членов, 
– определитель этой матрицы. (Общую запись системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными смотрите в задаче 1, пункт з, система 2).
Составим матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных данной системы:
А = 
.
Вычислим ее определитель 
= –4
–4
–6
=
.
Вычислим алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А:
Тогда
= 
=
и 
=
=
=
=
= 
=
.
Отметим, что ответы, полученные при решениями разными методами, совпадают между собой.
Ответ: 
Элементы теории вероятности и математической статистики
ЗАДАЧА 3.
На складе университета хранится 28 одинаковых упаковок писчей бумаги. Известно, что в четырех из них содержится бумага более низкого качества. Случайным образом выбирают три упаковки бумаги. Вычислить вероятность того, что среди них:
А) нет упаковок с бумагой более низкого качества,
Б) есть одна упаковка такой бумаги.
Решение: Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 3 упаковки бумаги из 28 упаковок, то есть: 
– числу сочетаний из 28 элементов по 3:
А) подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (нет упаковок с бумагой более низкого качества). Это число исходов ровно числу способов, которыми можно извлечь 3 упаковки бумаги из 24 упаковок (столько упаковок содержит бумагу высшего сорта), то есть:
–
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:
Б) подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию (среди трех упаковок бумаги 1 упаковка содержит бумагу более низкого качества): две упаковки можно выбрать из 24 упаковок: 
способами, при этом одну упаковку нужно выбирать из четырех: 
Способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно 
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех элементарных исходов 
.
Ответ: а) 
Б) 
ЗАДАЧА 4.
Магазин получает электролампочки с двух заводов, причем доля первого завода составляет 25 %. Известно, что доля брака на этих заводах равна соответственно 5 % и 10 % от всей выпускаемой продукции. Продавец наугад берет одну лампочку. Какова вероятность того, что она окажется бракованной?
Решение: Обозначим через А событие – «лампочка окажется бракованной». Возможны следующие гипотезы о происхождении этой лампочки: 
«лампочка поступила с первого завода», 
«лампочка поступила со второго завода». Так как доля первого завода составляет 25 %, то вероятности этих гипотез равны соответственно 
Условная вероятность того, что бракованная лампочка выпущена первым заводом – 
вторым заводом – 
искомую вероятность того, что продавец взял бракованную лампочку, находим по формуле полной вероятности: 
Ответ: 
ЗАДАЧА 5.
Задан закон распределения дискретной случайной величены Х:
Найдите:
А) неизвестную вероятность Р,
Б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение 
данной случайной величены;
В) функцию распределения F(x) и построить ее график ;
Г) закон распределения случайной величины Y , если ее значения заданы функциональной зависимостью 
Решение:
А) так как сумма всех вероятностей должна равняться единице, то получим уравнение:
Отсюда 
;
Б) математическое ожидание М это сумма всех произведений значений случайной величины на их вероятности:
Дисперсия D=
Среднее квадратическое отклонение = 
В) Если 
<
Если – 4<
<
Если – 2<
<
Если 0<
0,05 + 0,1 + 0,12 = 0,15 + 0,12 = 0,27
Если 2< 0,27 + 0,23 = 0,5;
Если 4<
0,5 + 0,32 = 0,82;
Если 6<
0,82 + 0,14=0,96;
Если Х >8, То F(x)=Р( Х < Х )=0,96 + 0,04=1.
Итак, функция распределения может быть записана так:
F (X) = 
График этой функции приведен на рисунке:
Г) Сначала найдем значения случайной величены Y.
По условиям задачи 
Поэтому 
Составим таблицу вида.
Чтобы получить закон распределения случайной величены Y, необходимо:
1) рассмотреть ее значение в порядке возрастания;
2) сложить вероятности, соответствующие совпадающим значениям данной таблицы.
Итак, закон распределения случайной величены Y :
ЗАДАЧА 6.
Известно, что вероятность положительного исхода некоторого опыта равна 0,125. Найдите вероятность того, что в серии из 128 опытов положительный исход произойдет:
А) в 20 опытах;
Б) от 12 до 20 опытов.
Решение:
А) воспользуемся локальной теоремой Лапласа. Вероятность того, что в n =128 испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна 
равна к=20 раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна 
Так как 
То 
Значение функции 
Находим в таблице: 
Итак, 
Отметим, что таблица функции 
Приведена только для положительных значений. Если же значение получилось отрицательным, то знак минус можно просто опустить в силу четности функции ;
Б) воспользуемся интегральной теоремой Лапласа. Вероятность того, что в n =128 независимых испытаниях событие наступит от К1=12 до К2 =20 раз, приближенно равна:
.
Так как 
То 
Значение функции 
Также находим в специальной таблице. В таблице 
Для отрицательных значений Х используют эту же таблицу, учитывая, что Является нечетной функцией, то есть 
Итак, 
. Отсюда 
Ответ: 
8. Вопросы для подготовки к экзамену
(1-й семестр)
1. Понятие функции. Способы задания функций. Примеры. Элементарные функции.
2. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Примеры.
3. Предел функции (два определения). Основные теоремы о пределах. Второй замечательный предел.
4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Первый замечательный предел, его геометрический смысл.
5. Предел функции. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции и их классификация. Примеры.
6. Функции, непрерывные на отрезке (определение). Свойства функций, непрерывных на отрезке.
7. Производная функции, её геометрический и механический смысл. Дифференцируемость и непрерывность функции.
8. Производные элементарных функций.
9. Основные правила дифференцирования.
10. Дифференциал функции и его использование в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков.
11. Теорема Ферма (с доказательством).
12. Теорема Ролля (с доказательством).
13. Теорема Лагранжа (с доказательством).
14. Теорема Коши. Правило Лопиталя.
15. Возрастание и убывание функции. Исследование возрастания и убывания функции с помощью производной.
16. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума.
17. Формулы Тейлора и Маклорена.
18. Выпуклость графика функции. Исследование выпуклости с помощью второй производной. Точки перегиба.
19. Асимптоты. Общая схема исследования функций.
20. Эластичность функции, анализ спроса и предложения.
21. Простейшие оптимизационные задачи в области коммерции.
22. Решение задачи о хранении вина.
23. Понятие функции нескольких переменных, предел и непрерывность, частные производные и дифференциал.
24. Производная функции двух переменных по направлению. Градиент и его свойства.
25. Необходимое и достаточное условия локального экстремума функции двух переменных.
26. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
27. Первообразная. Понятие неопределенного интеграла.
28. Свойства неопределенного интеграла. Табличные интегралы.
29. Замена переменной в неопределенном интеграле. Формула интегрирования по частям.
30. Определенный интеграл, его геометрический смысл и свойства. Формула Ньютона – Лейбница.
31. Замена переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.
32. Геометрические приложения определенного интеграла.
33. Приближенные методы вычисления определенного интеграла.
34. Несобственные интегралы. Определение, примеры.
35. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, интегральные кривые. Общее и частное решения. Задача и теорема Коши.
36. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
37. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Теоремы об общем решении.
38. Метод вариации постоянных.
39. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка. Теоремы об общем решении.
40. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
41. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
42. Числовые ряды. Необходимое условие сходимости ряда. Свойства сходящихся рядов.
43. Теорема сравнения рядов. Примеры применения теоремы.
44. Признак Даламбера сходимости ряда, интегральный признак Коши.
45. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.
46. Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости. Примеры.
47. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.
(2-ой семестр)
1. Системы линейных уравнений, основные понятия. Метод Гаусса.
2. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли. Решение неопределенных систем линейных уравнений. Общее, частное и базисное решения системы линейных уравнений.
3. Определители 2-го и 3-го порядков и их свойства.
4. Определители n-го порядка и их свойства.
5. Матрицы и действия с ними. Свойства операций над матрицами.
6. Обратная матрица и способы ее нахождения.
7. Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера и с помощью обратной матрицы.
8. Векторы и линейные операции над ними. Арифметическое n-мерное векторное пространство Rn. Геометрический смысл пространств 
и 
.
9. Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина вектора, угол между векторами.
10. Линейно зависимые и линейно не зависимые системы векторов.
11. Базис пространства 
. Разложение вектора по произвольному базису.
12. Различные виды уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми.
13. Прямая и плоскость в пространстве.
14. Основная задача линейного программирования. Геометрический метод решения задачи ЛП с двумя переменными.
15. Основные понятия теории вероятностей. Операции над событиями.
16. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Классическая вероятностная схема.
17. Элементы комбинаторики и вычисление вероятности событий. Геометрическая вероятность.
18. Теорема сложения вероятностей.
19. Условная вероятность. Независимость событий. Теорема умножения вероятностей.
20. Формула полной вероятности.
21. Формула Бейеса.
22. Вероятность событий в схеме Бернулли.
23. Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа.
24. Определение случайной величины. Функция распределения и ее свойства.
25. Ряд распределения, полигон и функция распределения дискретной случайной величины.
26. Плотность распределения и функция распределения непрерывной случайной величины.
27. Математическое ожидание дискретной и непрерывной случайной величины.
28. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной и непрерывной случайной величины.
29. Распределения дискретных случайных величин: биномиальное, Пуассона. Их числовые характеристики.
30. Равномерное и показательное распределения, их числовые характеристики.
31. Нормальное распределение и его числовые характеристики.
32. Понятие случайного вектора на примере системы двух случайных величин. Закон распределения системы двух дискретных случайных величин. Условные законы распределения. Независимые случайные величины.
33. Числовые характеристики системы случайных величин.
34. Предельные теоремы теории вероятностей.
35. Статистические оценки.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
