Типовый расчёт - математический анализ, 3й семестр

III семестр, 4 вариант

Типовой расчёт

Задача 1. 1. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования двумя способами.

Изобразим область интегрирования.

Удем сначала интегрировать по у. Для каждой точки (х, у) области D имеем . Тогда

Получим

Если же начать с интегрирования по х, то заметим, что . Разделим область интегрирования на 2 части прямой y=0. По свойству аддитивности двойного интеграла он разбивается на два, в каждом их которых сделана замена на повторный с внутренним интегрированием по переменному y, а внешним интегрированием по переменному x.

Тогда имеем

Получим

Задача 1. 2. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования двумя способами. Вычислить площадь фигуры, образованной, указанными кривыми.

Решение

Изобразим область интегрирования.

Данная фигура состоит из 2х симметричных относительно оси ОУ частей. Будем сначала интегрировать по у. Для каждой точки области D имеем и .

Тогда

Получим

Если же начать с интегрирования по х, то заметим, что для каждой точки (х, у) области D. Тогда ,

Найдём площадь фигуры, образованную данными кривыми.

Задача 1. 3. С помощью тройного интеграла вычислить объём тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью

Решение

Изобразим тело, объём которого нужно найти

По формуле . Тогда

Ответ: (куб. ед.)

Задача 1. 4. С помощью тройного интеграла вычислить объём тела, ограниченного указанными поверхностями

Решение

Изобразим тело, объём которого необходимо найти

По формуле . Найдём проекцию тела на плоскость . Для этого решим систему:

Перейдём к цилиндрическим координатам . Тогда . Получим

Ответ: (куб. ед.)

Задача 1. 5. Найти градиент скалярного поля U.

Решение

Градиент скалярного поля U есть вектор GradU, направленный по нормали к поверхности уровня поля в сторону возрастания поля и численно равный наибольшей производной по направлению

Он вычисляется по формуле .

В нашем случае

, ,

Тогда

Ответ:

Задача 1. 6. Найти производную скалярного поля U в точке А по направлению к точке В.

, ,

Решение

Найдём направляющие косинусы вектора . Его длина . Следовательно , ,

Вычисляем частные производные функции в точке

, ,

Тогда по формуле

Ответ:

Задача 1. 7. Найти дивергенцию векторного поля

Решение

Дивергенция векторного поля

В декартовой системе координат вычисляется по формуле

В нашем случае

Задача 1.8. Найти ротор векторного поля

Решение

Ротором векторного поля, определяемого вектором называется вектор

В нашем случае

Ответ:

Задача 1. 9. Вычислить криволинейный интеграл от т. А до т. В по кривой L.

, , ,

Решение

По формуле .

На отрезке АВ . Подставляя в подынтегральную функцию вместо у его выражение через х () и замечая, что при перемещении от А к В х меняется от -1 до 1, получаем

Ответ:

Задача 1. 10. Вычислить криволинейный интеграл по замкнутому контуру L, пробегаемому против часовой стрелки, двумя способами: непосредственно и по теореме Грина.

, , ,

Решение

Так как контур интегрирования состоит из 3 отрезков

На отрезке ВА x=2, dx=0, y от 2 до 1

На отрезке АС , , x от 2 до 3

На отрезке СВ y=2, dy=0, x от 3 до 2

Тогда получим

По формуле Грина

Ответ:

Задача 1. 11. Найти циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру Г, образованному при пересечении указанных поверхностей, двумя способами: непосредственно и по теореме Стокса.

Решение

Изобразим данные поверхности

Данные поверхности пересекаются по линии

В нашем случае

, , ,

Подставляя эти выражения в формулу для вычисления циркуляции, получаем:

Для вычисления циркуляции по теореме Стокса выберем какую-нибудь поверхность , натянутую на контур . Естественно в качестве взять круг, имеющий контур своей границей. Уравнение поверхности имеет вид: . Согласно выбранной ориентации контура нормаль к поверхности необходимо взять равной .

В силу теоремы Стокса

Ответ:

Задача 1. 12. Найти поток векторного поля через полную поверхность пирамиды V, образованной плоскостями, двумя способами: непосредственно и по теореме Остроградского-Гаусса.

Решение

При вычислении потока данного примера придется рассмотреть сумму потоков, т. к. поверхность состоит из четырех частей

Где – соответственно нормали к поверхностям и

Будем вычислять каждый из слагаемых интегралов отдельно. В первом интеграле взаимно однозначно проектируется, например, на плоскость , а уравнение его плоскости .

Принимая ,

Найдем единичный вектор нормали к этой плоскости по формуле , .

Здесь , что не соответствует нормали к внешней стороне треугольника. После этого находим

Во втором интервале , и

В третьем интеграле и .

В четвертом интеграле и ,

Окончательно получаем .

С помощью теоремы Остроградского:

Поэтому

Где – объем пирамиды .

Объём пирамиды вычислен по формуле: $v = \frac{1}{3} s h,$ , где $\ s$ — Площадь основания и $\ h$ — высота;

Ответ:

Задача 1. 13. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность .

Решение

С помощью теоремы Остроградского:

Поэтому

Перейдем к цилиндрическим координатам x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z =z .

Так как (0 ≤ φ ≤ π); (0 ≤ ρ ≤ 4); (0 ≤ z ≤ 1), то в цилиндрических координатах

Ответ:

Задача 2. 1. Для данного числового ряда:

А) выписать 3 первых члена;

Б) доказать его сходимость, пользуясь определением сходимости;

В) найти его сумму.

Решение

А) Выпишем первые три члена ряда: ,,

Б) Разложим данный ряд в сумму 2х рядов и исследуем каждый из них на сходимость.

Ряд сходится по признаку Даламбера, так как

Исследуем ряд На абсолютную сходимость. Рассмотри ряд из модулей:

, а ряд так же сходится по признаку Даламбера, так как

Так как сумма сходящихся рядов тоже сходится, то, следовательно, данный ряд сходится абсолютно.

В) Очевидно, что , а каждый из полученных рядов и представляет собой сумму членов бесконечно убывающих геометрических прогрессий с , , . По формуле . Сумма ряда , где , а . Следовательно, .

Задача 2. 2. Установить расходимость ряда, используя необходимое условие сходимости.

Решение

Проверим выполнение необходимого условия сходимости рядов . В нашем случае

Тогда так как , то не выполняется необходимое условие сходимости ряда. Данный ряд расходится.

Задача 2. 3. Исследовать ряд на сходимость с помощью признака сравнения.

Решение

Дан знакоположительный ряд. Применим признак сравнения. Так как при . Ряд - сходится. Найдем предел отношения общих членов рядов и при .

Ряд сходится как обобщённый гармонический.

А, так как ряд с большими членами сходится, то сходится и ряд с меньшими членами, следовательно, из сходимости ряда и первого признака сравнения следует, что ряд сходится.

Задача 2. 4. Исследовать ряд на сходимость, используя признака сравнения в предельной форме.

Решение

Исследуем сходимость этого ряда с помощью признака сравнения в предельной форме. Сравним данный ряд с обобщённым гармоническим рядом , который расходится. Найдем предел отношения общих членов этих рядов при .

При нахождении предела воспользовались тем, что ~x при , а так как при , то ~. Так как предел получился конечный, не равный нулю, то ряды ведут себя одинаково, следовательно, данный ряд также расходится.

Задача 2. 5. Исследовать ряд на сходимость с помощью признака Даламбера.

Решение

Используем признак Даламбера. Для рассматриваемого ряда

;

Вычислим

Следовательно, по признаку Даламбера, исходный ряд сходится.

Задача 2. 6. Исследовать ряд на сходимость с помощью радикального признака Коши.

Решение

Воспользуемся радикальным признаком Коши. Здесь

Вычислим

Полученное значение больше 1, следовательно, ряд расходится.

Задача 2. 7. Исследовать ряд на сходимость с помощью радикального признака Коши.

Решение

Воспользуемся радикальным признаком Коши. Здесь

Вычислим

Полученное значение меньше 1, следовательно, ряд сходится.

Задача 2. 8. Исследовать ряд на сходимость с помощью интегрального признака Коши.

Решение

Исследуем данный ряд с помощью интегрального признака Коши. Составим соответствующий интеграл и вычислим его

Интеграл сходится, следовательно, исследуемый ряд сходится.

Задача 2. 9. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд.

А) , Б)

Решение

А)Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

;

Используем признак Даламбера. Для рассматриваемого ряда

;

Вычислим

Следовательно, по признаку Даламбера, исходный ряд сходится абсолютно.

Б) Исследуем данный ряд на абсолютную сходимость .

Используем интегральный признак Коши.

Так как соответствующий несобственный интеграл расходится, то ряд не сходится абсолютно.

Исследуем на условную сходимость:

Данный ряд сходится по признаку Лейбница.

и .

Следовательно, данный ряд сходится условно.

Задача 2. 10. Найти радиус и область сходимости степенного ряда.

Решение

Найдём интервал сходимости ряда ,

Так как

Тогда или , .

Ряд сходится на интервале Абсолютно.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

При x= получим ряд , данный ряд является знакоположительным, проверим выполнение необходимого условия сходимости:

Следовательно, не выполняется необходимое условие сходимости ряда – данный ряд расходится.

При х= получим ряд – данный ряд расходится.

Имеем интервал абсолютной сходимости ряда:

Ответ: Ряд сходится при

Задача 2. 11. Используя разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора, получить разложение данных функций в степенные ряды по степеням (х-х0). Указать область сходимости полученных рядов.

, х0=0

Решение

Используем стандартное разложение:

Тогда имеем:

Задача 2. 12. Используя разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора, получить разложение данных функций в степенные ряды по степеням (х-х0). Указать область сходимости полученных рядов.

, х0=0