Теория вероятности и математическая статистика 06
1. Функция распределения F(X).
F(x≤-3) = 0
F(-3< x ≤-2) = 0.5
F(-2< x ≤-1) = 0.2 + 0.5 = 0.7
F(-1< x ≤0) = 0.1 + 0.7 = 0.8
F(x>0) = 1
Построим график функции распределения:
2. Математическое ожидание находим по формуле m = ∑xipi.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = (-3)*0.5 + (-2)*0.2 + (-1)*0.1 + 0*0.2 = -2
Дисперсию находим по формуле d = ∑x2ipi - M[x]2.
Дисперсия D[X].
D[X] = 32*0.5 + 22*0.2 + 12*0.1 + 02*0.2 - 22 = 1.4
Среднее квадратическое отклонение σ(x).
3. Вероятность.
Вероятность попадания СВ в тот ли иной интервал находится по формуле:
P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a)
Найдем вероятность того, что СВ будет находиться в интервале -2,5 ≤ X < 1
P(-2,5 ≤ X < 1) = F(1) - F(-2,5) = 1 - 0.5 = 0.5
Найдем параметр С из условия:
Функция распределения.
,
,
Построим график функции распределения:
Математическое ожидание.
Дисперсия.
Среднеквадратическое отклонение.
Определим вероятность того, что случайная величина x попадет в интервал .
P(x1 £ X < x2) = F(x2 ) - F(x1 ) = F() - F() =
P( £ X < )
Решение
Очевидно, что двойной интеграл по области D от функции f(x, y) есть вероятность попадания случайной точки в область D.
Выразим вероятность попадания случайной точки в область D через двойной интеграл:
Очевидно, что P=1. Тогда
Найдем математические ожидания случайных величин x и h :
Вычислим дисперсии случайных величин x и h :
Корреляционный момент может быть найден по формуле
Коэффициент корреляции найдем по формуле . Имеем
Решение
Объем данной выборки равен
По данным задачи находим выборочную среднюю:
Далее находим исправленное среднее квадратическое отклонение S:
Для оценки математического ожидания A нормально распределенного количественного признака Х в случае неизвестного среднего квадратического отклонения служит доверительный интервал
.
Таким образом
Окончательно получаем
Имеем 2 формулы для оценки математического ожидания:
, где - значение функции Лапласа
Тогда
Решение
1. Обозначим . Тогда
Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:
Уравнение линейной регрессии с x на y имеет вид:
Найдем необходимые числовые характеристики.
Выборочные средние:
(15(7+5)+25(20+23)+35(30+47+2)+45(10+11+20+6)+55(9+7+3))/200=35.9
(20(7+20)+30(5+23+30+10)+40(47+11+9)+50(2+20+7)+60(6+3))/200=36.25
Дисперсии:
σ2x=(152(7+5)+252(20+23)+352(30+47+2)+452(10+11+20+6)+552(9+7+3))/200-35.92=106.19
σ2y=(202(7+20)+302(5+23+30+10)+402(47+11+9)+502(2+20+7)+602(6+3))/200-36.252=106.44
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
σx = 10.3 и σy = 10.32
И ковариация:
Cov(x, y)=(15•20•7+25•20•20+15•30•5+25•30•23+35•30•30+45•30•10+35•40•47+45•40•11+55•40•9+35•50•2+45•50•20+55•50•7+45•60•6+55•60•3)/200-35.9•36.25=77.88
Определим коэффициент корреляции:
Запишем уравнения линий регрессии y(x):
И вычисляя, получаем:
Yx = 0.73 x + 9.92
Запишем уравнения линий регрессии x(y):
И вычисляя, получаем:
Xy = 0.73 y + 9.38
Построим графики регрессий:
2. Зависимость случайных величин X и Y.
Ковариация. cov(X, Y) = M[X•Y] - M[X]•M[Y]
Cov(X, Y)=(15•20•7+25•20•20+15•30•5+25•30•23+35•30•30+45•30•10+35•40•47+45•40•11+55•40•9+35•50•2+45•50•20+55•50•7+45•60•6+55•60•3)/200-36.25•35.9=77.88
Если случайные величины независимы, то их ковариации равна нулю. В нашем случае cov(X, Y) ≠ 0.
Коэффициент корреляции.
3. По формуле, корреляционное отношение
Среднее квадратическое отклонение σ(y).
Найдем межгрупповое среднее квадратическое отклонение:
Вычислим теперь искомое корреляционное отношение:
Так как , то признак у связан c признаком х функциональной зависимостью.
< Предыдущая | Следующая > |
---|