Теория вероятности и математическая статистика 03

Контрольные задания

І. Теория вероятностей.

1А. Определение сложных событий.

Задача 1.4. Производится три броска по баскетбольному кольцу. Определить сложное событие, состоящее в попадании в кольцо двух мячей.

Решение

Введем обозначения:

А1 – Попадание при первом броске

А2 – Попадание при втором броске

А3 – Попадание при третьем броске

Тогда соответственно

- Промах при первом броске

Событие В заключается в том, что произошли два какие-то события, то есть или события А1 и А2 (а А3 не произошло), или А1 и А3 (а А2 не произошло), или А2 и А3 (а А1 не произошло).

Следовательно, сложное событие B, состоящее в попадании в кольцо двух мячей, можно определить следующим образом:

2А. Способы определения вероятностей.

Задача 2.4. В урне А белых и В черных шаров. Из урны вынули один шар и положили в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны берут еще один шар. Найти вероятность того, что этот шар тоже будет белым.

Решение

Рассмотрим множество всех шаров в урне X, состоящее из (А+В) элементов.

После того как вынули один шар и он оказался белым в урне осталось (А+В-1) шаров, из которых (А-1) белых

Определим общее число n элементарных исходов и число исходов, благоприятных указанным событиям.

Общее число элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь 1 шар из (А+В-1) шаров, то есть равно числу (А+В-1).

Так как это число конечно и все исходы равновероятны, то имеет место классическая схема определения вероятности (, где n – число элементарных исходов в пространстве Ω, k – число элементарных исходов, благоприятных событию С).

Определим вероятность события С, что второй шар тоже будет белым:

Число элементарных исходов, благоприятных событию А, равно (А-1)

То есть, имеем:

Ответ:

3А. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Задача 3.4. В урне 20 белых и 6 черных шаров. Из неё вынимают наугад два шара подряд. Найти вероятность того, что оба шара черные.

Решение

Введем события:

А - оба вынутые шара черные.

А1 – первый раз извлечен чёрный шар,

А2 – второй раз извлечен чёрный шар,

Тогда, событие А произойдет, если произойдут оба события А1 и А2, то есть

По теореме умножения вероятностей

Так как всего 26 шаров и из них 6 чёрных, то

После извлечения одного чёрного шара останется 25 шаров, из которых 5 шаров чёрные, следовательно,

Таким образом,

Ответ:

5А. Закон распределения дискретной случайной величины и ее числовые характеристики.

Задача 5.4. Вероятность попадания в баскетбольное кольцо мяча при одном броске равна 0.8. Составить ряд распределения и определить математическое ожидание , характеризующее результат попадания мяча в кольцо.

Решение

Случайная величина ξ − число попаданий мяча в корзину при одном броске – дискретная случайная величина, так как множество ее значений конечно.

Определим вероятность каждого значения случайной величины. Очевидно,

- вероятность промаха при одном броске.

- вероятность попадания в кольцо при одном броске.

Заметим выполнимость условия нормировки: .

Представим закон распределения в виде таблицы:

Математическое ожидание:

6А. Закон распределения непрерывной случайной величины и ее числовые характеристики.

Задача 6.4. Случайная величина имеет плотность распределения

. Найти функцию распределения F(x).

Решение

Найдем функцию распределения F(X) случайной величины .

Функция F(X), которая определяется равенством ,

Непосредственно из определения следует равенство .

Тогда, при : ,

При : ,

При :.

Получили

Контрольные задания

ІІ. Математическая статистика

13А. Выборочный метод математической статистики

Пример 13.4. По ряду распределения построить статистическую функцию распределения

Статистической функцией распределения случайной величины X называется частота события X < х в данном статистическом материале: F*(х) = Р*(Х<х).

По данным таблицы находим функцию распределения:

14А. Статистические оценки параметров распределения.

14.1.Точечные оценки параметров распределения

Примеры 1.– 10. Испытано 12 однотипных микросхем и с точностью до 1.0 часа зарегистрировано время безотказной работы каждой из них. Результаты испытаний сведены в таблицу:

Найти оценку математического ожидания и дисперсии

Решение

1.Для оценки математического ожидания используем формулу

В нашем случае 2. Оценку для дисперсии проведём:

А) когда известно математическое ожидание = 130 [час].

Используем формулу

В нашем случае: б) когда неизвестно математическое ожидание .

В этом случае используем статистическое математическое ожидание и формулу

В нашем случае:

14.2. Интервальная оценка параметров распределения

Определить доверительный интервал.

Примеры 1.– 10. Построить 95-процентный (β=0.95) доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания Случайной величины , если по результатам N=104 измерений получены оценки

Решение

Используем формулу для доверительного интервала

Значение табличной функции положим

В нашем случае

Тогда

Определить доверительный интервал.

Примеры 1.– 10. Построить 96-процентный (β=0.96) доверительный интервал для оценки неизвестной дисперсии случайной величины по результатам N = 104 измерений.

Решение

Оценку для дисперсии проведём:

А) когда известно математическое ожидание и

Используем формулу Значение табличной функции положим

В нашем случае

Тогда

Б) когда неизвестно математическое ожидание и

Используем формулу

В нашем случае

Тогда

16А. Определение характеристик случайных величин и построение линий регрессии по данным выборки

Примеры 1.10. Дана выборка объёма , заданная в таблицах №№1–10. Номер таблицы определяется последней цифрой зачётной книжки.

Требуется: вычислить выборочные средние, выборочные дисперсии, средние квадратические отклонения, корреляционный момент и коэффициент корреляции. Составить уравнение линии регрессии . Построить график линии регрессии относительно точек таблицы. Найти остаточную дисперсию.

таблица №4

Решение

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε

Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение).

Так как отклонения εi для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:

1) по наблюдениям xi и yi можно получить только оценки параметров α и β

2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т. к. соответствуют случайной выборке;

Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок εi, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.

Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов). Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии.

Формально критерий МНК можно записать так:

S = ∑(yi - y*i)2 → min

Система нормальных уравнений.

A•n + b∑x = ∑y

A∑x + b∑x2 = ∑y•x

Для наших данных система уравнений имеет вид

5a + -2.5 b = 7.5

-2.5 a + 1.88 b = -4.52

Из первого уравнения выражаем А и подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -1.232, a = 0.884

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

Y = -1.232 x + 0.884

Эмпирические коэффициенты регрессии A и B являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу