Теория вероятности и математическая статистика 02
Вариант 16
1. На предприятии установлены 3 технологические линии. Вероятность отказа первой в течение месяца равна 0,2, второй – 0,1, третьей – 0,3. Найти вероятность того, что на протяжении месяца откажет хотя бы одна линия.
Пусть события А, В, С состоят в том, что в течение месяца откажет первая, вторая или третья линии соответственно. Тогда событие D – «на протяжении месяца откажет хотя бы одна линия» можно записать как
.
По формулам сложения и умножения вероятностей
Ответ: 0,496.
2. На заводе 40% всей продукции изготавливается первым станком, остальное – вторым. В среднем 9 из 1000 деталей, изготовленных первым станком, оказываются бракованными, для второго станка этот показатель – одна бракованная деталь из 250. Случайно выбранная из всей данной продукции деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена первым станком?
Пусть событие А – случайно выбранная деталь оказалась бракованной. Возможны 2 гипотезы: – она изготовлена на 1-ом или 2-ом станке соответственно. По условию
.
Тогда по формуле полной вероятности
.
По формуле Байеса вероятность того, что бракованная деталь изготовлена первым станком:
.
Ответ: 0,4.
3. Автопарк предприятия состоит из 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы автопарка, если для этого необходимо иметь на линии не меньше 8 машин.
Решение:
Применим формулу Бернулли:
Ответ: 0,9274
4. В урне находятся 12 шаров, из них 8 белых. Наугад берут 4 шаров. Нужно составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа выбранных белых шаров. Кроме того, построить полигон распределения вероятностей ДСВ Х; записать интегральную функцию распределения F(x) и построить ее график; вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение ДСВ Х; вычислить вероятность выполнения неравенства .
Решение:
Составим закон распределения:
Проверка:
.
Вероятности найдены верно. Запишем ряд распределения:
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
Р |
1/495 |
32/495 |
56/165 |
224/495 |
14/99 |
Полигон распределения частот:
Интегральная функция распределения F(x):
Построим ее график:
Вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение ДСВ Х:
Вычислим вероятность выполнения неравенства :
.
5. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х имеет вид:
Необходимо:
Определить значение ;
Вычислить математическое ожидание , дисперсию и среднеквадратичное отклонение ;
Найти интегральную функцию распределения вероятностей ;
Построить графики функций ;
Вычислить вероятность выполнения неравенства .
Решение:
Значение определим из условия :
.
Математическое ожидание , дисперсию и среднеквадратичное отклонение :
Данная функция плотности распределения говорит о том, что Х имеет равномерное распределение на отрезке . Тогда
Интегральная функция распределения:
Строим графики функций:
.
6. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х имеет вид . Требуется:
Определить значение ;
Вычислить математическое ожидание , дисперсию и среднеквадратичное отклонение ;
Найти интегральную функцию распределения вероятностей ;
Вычислить вероятность выполнения неравенства .
Решение:
Сравнивая заданную плотность распределения с плотностью нормально распределенной НСВ , находим, что , откуда . Итак, имеем:
.
Интегральная функция распределения данной НСВ, как величины, распределенной по нормальному закону, принимает вид:
,
Где – функция Лапласа.
Вероятность того, что значения величины Х принадлежат интервалу (-0,75;0,25), вычисляется по формуле
7. В высшем учебном заведении проводилось тестирование студентов с целью выяснения ровня знаний по курсу высшей математики. Студенты, кроме ответов на предложенные вопросы, должны были указать, сколько времени каждый из них тратил на подготовку к тесту. Итогом тестирования оказалась генеральная совокупность данных объемом N = 600 с двумя числовыми признаками: результат тестирования в баллах (признак 1) и время, израсходованное на подготовку к тесту в часах (признак 2).
Нужно:
Создать индивидуальную выборочную совокупность данных (признаки 1 и 2) объемом П = 100 согласно указанному преподавателем индивидуального номера К І следующего правила: из генеральной совокупности выбрать 100 значений признаков 1 и 2 с последовательными номерами NN = К, К+5, К+10,...., К+495 (все значения признака 1 увеличить при этом на величину К);
После упорядочения значений признака 1 по возрастанию построить для этого признака интервальный вариационный ряд;
Построить многоугольник и гистограмму выборочного распределения признака 1;
Определить числовые характеристики построенного выборочного распределения: а) выборочную среднюю, б) выборочную дисперсию, в) выборочное среднеквадратичное отклонение;
Для построенного выборочного распределения проверить гипотезу о том, что признак 1 в генеральной совокупности распределено по нормальному закону (уровень значимости = 0,05);
При доверительной вероятности = 0,95 определить доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии и среднеквадратичного отклонения признака 1 в генеральной совокупности, используя для этого первые (20 + Q) Значений признака 1 в начальной (неупорядоченной) выборке; Q - Последняя цифра индивидуального номера К;
Для тех же (20 + Q) Первых значений признаков 1 и 2 построить уравнение прямой линии регрессии Y (признак 1) на X (признак 2) и уравнение прямой линии регрессии X На У. Определить коэффициенты корреляции и детерминации и объяснить содержание этих коэффициентов. Построить графики прямых линий регрессии вместе с заданным корреляционным полем.
Решение:
После упорядочения значений признака 1 по возрастанию построить для этого признака интервальный вариационный ряд: данные уже упорядочены по возрастанию Х. Строим вариационный ряд:
Интервальный ряд:
Построить многоугольник и гистограмму выборочного распределения признака 1:
Определить числовые характеристики построенного выборочного распределения:
А) выборочную среднюю:
Б) выборочную дисперсию:
В) выборочное среднеквадратичное отклонение:
.
Для построенного выборочного распределения проверить гипотезу о том, что признак 1 в генеральной совокупности распределен по нормальному закону (уровень значимости = 0,05):
Составим расчетную таблицу:
Найдем наблюдаемое значение критерия Пирсона:
,
По таблице критических точек распределения , по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы K = S – 3 = 8 – 3 = 5 находим критическую точку правосторонней области:
Так как нет оснований принимать гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.
При доверительной вероятности = 0,95 определить доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии и среднеквадратичного отклонения признака 1 в генеральной совокупности, используя для этого первые 26 значений признака 1 в начальной (неупорядоченной) выборке.
Итак,
Найдем выборочное значение дисперсии:
Ищем критическое значение t при уровне значимости 0,95 и 26-1=25 степенях свободы t= 2,06. Тогда
Доверительный интервал для среднего:
Остальные доверительные интервалы:
Итак, для дисперсии доверительный интервал с вероятностью 0,95 (48,80; 151,189), для СКО (6,99; 12,30).
Для тех же 26 первых значений признаков 1 и 2 построить уравнение прямой линии регрессии Y (признак 1) на X (признак 2) и уравнение прямой линии регрессии X На У. Определить коэффициенты корреляции и детерминации и объяснить содержание этих коэффициентов. Построить графики прямых линий регрессии вместе с заданным корреляционным полем
Составим расчетную таблицу:
Вычислим дисперсии:
Выборочные коэффициенты корреляции и детерминации:
.
Строим выборочное уравнение прямой линии регрессии У на х
Уравнение Х на У:
Строим графики:
Итак, полученное значение выборочного коэффициента корреляции 0,8121 достаточно близко к 1. Поэтому связь между Х и У считается тесной, о чем говорит и близость графиков линейных функций регрессии друг к другу.
< Предыдущая | Следующая > |
---|