Теория вероятности и математическая статистика
1. В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает 5 счетов. При условии, что 3% счетов содержат ошибки, найдите числовые характеристики этого распределения. Чему равна вероятность того, что хотя бы 1 счет будет с ошибкой.
Число правильных счетов есть случайная величина X, которая может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4. Вероятности этих значений определим по формуле Бернулли: pn(m) = 
, где q=0,03 - вероятность неправильного счета, а p=1-q=1-0,03 = 0,97 - вероятность правильного счета. Получим
P (X=0) = p5(0) = 
0,0000000243
P (X=1) = p5(1) = 
0,000004
P (X=2) = p5(2) = 
0,00025
P (X=3) = p5(3) = 
0,0082
P (X=4) = p5(4) = 
0,133
P (X=5) = p5(5) = 
0,859
Сделаем проверку. Сумма вероятностей должна быть равна 1. Действительно,
0,0000000243+0,000004+ 0,00025+0,0082+0,133+0,859=1
Распределение случайной величины X
|
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
P |
0,00000002 |
0,000004 |
0,00025 |
0,0082 |
0,133 |
0,859 |
Определим числовые характеристики этого распределения. Математическое ожидание дискретной случайной величины X находим по формуле
M (X) = 
,
Где 
- возможные значения X, а 
- соответствующие вероятности.
M(X) = 0*0,00000002 + 1*0,000004+2*0,00025+3*0,0082+4*0,133+5*0,859 = 4,85
Дисперсию случайной величины X находим по формуле
.
Так как
M(X2) = 0*0,00000002 + 1*0,000004+4*0,00025+9*0,0082+16*0,133+25*0,859 = 23,68
То
D(X) = 23,68 – (4,85)2 = 0,155
Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно
Найдем функцию распределения вероятностей F(X).
Если х ≤ 0, то F(x) = 0
Если 0 ≤ х ≤ 1, то F(x) = 0*0,00000002
Если 1 ≤ х ≤ 2, то F(x) = 0*0,00000002+0,000004 = 0,00000402
Если 2 ≤ х ≤ 3, то F(x) = 0*0,00000002+0,000004 +0,00025= 0,00025402
Если 3 ≤ х ≤ 4, то F(x) = 0*0,00000002+0,000004 +0,00025+0,0082= 0,00845402
Если 4 ≤ х ≤ 5, то F(x) = 0*0,00000002+0,000004 +0,00025+0,0082+0,133= 0,14145402
Если x > 5, то F(x) = 0*0,00000002+0,000004 +0,00025+0,0082+0,133+0,859 = 1
График функции 
Событие A, состоящее в том, что хотя бы 1 счет будет с ошибкой, является противоположным к событию, что все счета будут правильными, следовательно,
P(A) = 1 – P(X = 5) = 1-0,859 = 0,141
Вероятность того, что хотя бы 1 счет будет с ошибкой, равна 0,141.
2. Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением 
и неизвестным математическим ожиданием. В 90% случаев число ежемесячных заказов превышает 12439. Найдите ожидаемое среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.
Вероятность того, что число ежемесячных заказов превышает 12349:
P(|X|>12349) = 1 - P(|X|<12349) = 0,9
По определению, для вероятности P(|X|<12349):
P(|X|<12349) = Ф (
Где 
- математическое ожидание, то есть ожидаемое среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц. По таблице функции Лапласа найдем Ф(х) = 0,1 , тогда х=0,25.
Тогда:
Ответ:
3. Длительность междугородних телефонных разговоров распределена примерно по показательному закону, разговор продолжается в среднем 3 мин. Найти вероятность того, что очередной разговор будет продолжаться более 3 мин. Найти вероятность того, что разговор, который длится уже 10 мин, закончится в течении ближайшей минуты, а также математическое ожидание и дисперсию длительности разговора.
Решение
Для показательного распределения математическое ожидание МХ = . Тогда 
Дисперсия длительности разговора равна:
DX = 
Вероятность того, что разговор, будет продолжаться более 3 мин, является противоположным к событию, что разговор продолжается менее 3 мин:
P(|X|>3) = 1 – P(|X|<3) = 1 - 
Вероятность того, что разговор, который длится уже 10 мин, закончится в течении ближайшей минуты:
P{X<11|X>10} = 
Ответ: 
DX ; P(|X|>3) = 0
; P{X<11|X>10} 
2.
Для заданного интервального ряда выборки проверить гипотезу: закон распределения генеральной совокупности является нормальным.
|
M |
Интервалы | ||||||
|
Частоты | |||||||
|
1 |
2 | ||||||
|
16 |
(2,2;3,0) |
(3,0;3,8) |
(3,8;4,6) |
(4,6;5,4) |
(5,4;6,2) |
(6,2;7,0) |
(7,0;7,8) |
|
5 |
10 |
35 |
20 |
15 |
8 |
7 |
Решение
Используя метод произведений, найдем выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение.
|
Интервалы* |
Частоты |
Ui |
Niui |
|
|
|
2,6 |
5 |
-3 |
-15 |
45 |
20 |
|
3,4 |
10 |
-2 |
-20 |
40 |
10 |
|
4,2 |
35 |
-1 |
-35 |
35 |
0 |
|
5 |
20 |
0 |
0 |
0 |
20 |
|
5,8 |
15 |
1 |
15 |
15 |
60 |
|
6,6 |
8 |
2 |
16 |
32 |
72 |
|
7,4 |
7 |
3 |
21 |
63 |
112 |
|
N |
100 |
-18 |
230 |
294 |
- выборочная средняя
– выборочное среднее квадратическое отклонение
Вычислим теоретические частоты:
|
I |
|
|
|
|
|
1 |
2,6 |
-1,4702 |
0,1354 |
7,173492 |
|
2 |
3,4 |
-0,9404 |
0,2565 |
13,58937 |
|
3 |
4,2 |
-0,4106 |
0,3668 |
19,43306 |
|
4 |
5 |
0,119205 |
0,3961 |
20,98538 |
|
5 |
5,8 |
0,649007 |
0,323 |
17,11254 |
|
6 |
6,6 |
1,178808 |
0,1989 |
10,53772 |
|
7 |
7,4 |
1,708609 |
0,094 |
4,98012 |
|
93,81169 |
Из расчетной таблицы получаем. Найдем по таблице критических точек распределения 
По уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы k=7-2=5 критическую точку правосторонней критической области (0,05; 5) = 11,1
Так как, то гипотеза о нормальном распределении отвергается.
Ответ: гипотеза о нормальном распределении отвергается
3.
В таблице случайных чисел цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 встретились следующее число раз:
|
Цифры |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
Частоты |
106 |
121 |
128 |
96 |
113 |
117 |
109 |
103 |
119 |
120 |
Здесь i – номер варианта. С помощью критерия Пирсона проверить гипотезу о том, что все цифры встречаются в таблице равновероятно. За уровень значимости принять 
Решение
Найдем выборочную среднюю:
|
Цифры |
Частоты |
Ui |
Niui |
|
|
|
0 |
106 |
-4 |
-424 |
1696 |
954 |
|
1 |
121 |
-3 |
-363 |
1089 |
484 |
|
2 |
128 |
-2 |
-256 |
512 |
128 |
|
3 |
96 |
-1 |
-96 |
96 |
0 |
|
4 |
113 |
0 |
0 |
0 |
113 |
|
5 |
117 |
1 |
117 |
117 |
468 |
|
6 |
109 |
2 |
218 |
436 |
981 |
|
7 |
103 |
3 |
309 |
927 |
1648 |
|
8 |
119 |
4 |
476 |
1904 |
2975 |
|
9 |
120 |
5 |
600 |
3000 |
4320 |
|
N |
1132 |
581 |
9777 |
12071 |
- выборочная средняя
– выборочное среднее квадратическое отклонение
Найдем параметры a и b:
A*=
= 0,5
B*=
= 9,52
Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения:
F(x) =
Найдем теоретические частоты:
Длины третьего-девятого интервала равны длине второго интервала, поэтому теоретические частоты одинаковы и равны 
Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона, приняв число степеней свободы k=s-3=10-3=7
|
I |
|
|
|
|
|
|
1 |
106 |
|
43,74 |
1913,188 |
30,729 |
|
2 |
121 |
|
-3,52 |
12,3904 |
0,099505 |
|
3 |
128 |
|
3,48 |
12,1104 |
0,097257 |
|
4 |
96 |
|
-28,52 |
813,3904 |
6,532207 |
|
5 |
113 |
|
-11,52 |
132,7104 |
1,065776 |
|
6 |
117 |
|
-7,52 |
56,5504 |
0,454147 |
|
7 |
109 |
|
-15,52 |
240,8704 |
1,934391 |
|
8 |
103 |
|
-21,52 |
463,1104 |
3,719165 |
|
9 |
119 |
|
-5,52 |
30,4704 |
0,244703 |
|
10 |
120 |
|
55,25 |
3052,563 |
47,14382 |
|
92,01997 |
Из расчетной таблицы получаем. Найдем по таблице критических точек распределения По уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы k=7 критическую точку правосторонней критической области (0,05; 7) = 14,1
Так как, то гипотеза о равномерном распределении отвергается.
Ответ: гипотеза о равномерном распределении отвергается
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
