Теория вероятности 08

Вариант 11.

Задание 2. Имеется множество {1,2,…,20}. Из него извлечено два числа. Определить вероятность того, что а) оба числа четные; б) одно четное, другое – нечетное.

Решение. Событие А – оба извлеченных числа четные;

В – среди извлеченных числе одно четное, другое – нечетное.

Количество способов извлечь два числа из двадцати чисел равно:

Выясним, сколько исходов из этих 190 будут благоприятствовать наступлению события А. Таких исходов

,

Так как четных чисел среди данных – десять:

{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}.

А) Тогда по формуле классической вероятности

,

Где число элементарных исходов, благоприятствующих событию A;

N − число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий,

Получаем:

Б) Аналогично рассуждая, найдем число исходов, которые будут благоприятствовать наступлению события В:

Тогда искомая вероятность равна:

Ответ: а) 0,237; б) 0,526.

Задание 3. На отрезке длиной L наудачу выбраны две точки. Какова вероятность, что расстояние между ними меньше половины L?

Решение. Пусть X, Y – выбранные точки. Выбрать произвольно два числа X, Y∈[0; L] означает в нашей задаче бросить наугад точку M(X,Y) внутрь квадрата 0≤ X, Y ≤ L. Указанное в условии задачи событие произойдет, если будут выполнено условие: т. е. если брошенная точка попадет внутрь области A, ограниченной линиями:

Поэтому вероятность события А – «расстояние между точками меньше половины L», можно найти в соответствии с формулой геометрической вероятности:

Ответ: 0,75.

Задание 6. Две кости одновременно бросают три раза. Определить вероятность того, что «двойная шестерка» выпадет точно один раз.

Решение. Рассмотрим однократное подбрасывание костей. Так как бросали две кости и каждая из них имеет 6 различных вариантов того, какие очки на ней выпадут, то по правилу произведения, получаем

Вариантов.

Выясним, сколько исходов из этих 36 будут благоприятствовать наступлению события А – выпадение «двойной шестерки».

Таких исходов , а именно: {(6,6)}.

Тогда по формуле классической вероятности

Условие задачи соответствует схеме Бернулли.

Для нахождения искомой вероятности воспользуемся формулой Бернулли:

,

Со следующими параметрами: .

Тогда искомая вероятность

Ответ: 0,079.

Задание 7. Случайная величина Х – выпадение «двойной шестерки» в предыдущей задаче. Найти: 1) ряд распределения; 2) функцию распределения и ее график; 3) M[X], 4) D[X], 5) СКВО, 6)

Решение. 1) Случайная величина Х – выпадение «двойной шестерки» при трехкратном подбрасывании пары игральных костей может принимать следующие возможные значения:

0, 1, 2, 3.

Найдем вероятности соответствующие данным значениям, используя формулу Бернулли:

Получаем следующий закон распределения случайной величины Х:

	0	1	2	3
	0,91896	0,07877	0,00225	0,00002

2) Функция распределения случайной величины X имеет вид:

Изобразим ее график

3) Математическое ожидание случайной величины, распределённой по биномиальному закону, равно:

4) Дисперсия случайной величины, распределённой по биномиальному закону, равна:

5) Среднее квадратическое отклонение

6)

Задание 8. Дана плотность распределения

Найти А, F(X), M[X], D[X],

Решение. Найдём параметр А, используя основное свойство плотности распределения:

.

Тогда:

Функция плотности распределения принимает вид:

Интегральную функцию распределения вероятности F(X) можно найти по следующей формуле:

Если , то , следовательно,

F(X) =

Если , то , следовательно,

Если , то , следовательно,

Итак, искомая функция распределения:

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Вероятность попадания случайной величины X в заданный интервал находим по формуле:

Получаем:

< Предыдущая		Следующая >