Теория вероятности (7 задач)

Задача 1. Имеется 15 изделий, из них 5 бракованных. Для контроля наудачу берутся 2 изделия. Определить вероятность того, что а) брак не обнаружен; б) одно изделие бракованное, другое нет.

Решение. Событие А – среди двух взятых изделий брак не обнаружен;

Событие В – среди двух взятых изделий одно изделие бракованное, другое нет.

Всего имеется способов извлечь два изделия из 15 изделий.

А) Исходов благоприятствующих наступлению события А , т. к. то, что брак не обнаружен, означает, что оба изделия взяты из 10 небракованных изделий.

Используя формулу классической вероятности,

Где число элементарных исходов, благоприятствующих событию A;

N − число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий,

Получаем:

Б) Исходов благоприятствующих наступлению события В .

Используя формулу классической вероятности, получаем:

Ответ: а) 0,429; б) 0,476.

Задача 2. На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со стороной 3 наудачу бросают монета радиуса 1 см. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из сторон квадрата.

Решение. Событие А – монета не пересечёт ни одной из сторон квадрата можно представить в виде двух событий: В – монета не пересечёт вертикальных линий и С – монета не пересечёт горизонтальных линий. Тогда вероятность наступления события А можно представить в виде вероятности произведения событий В и С:

Предполагаем, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине этого отрезка, а вероятность попадания точки на плоскую фигуру пропорциональна площади фигуры, и не зависит от ее расположения.

Используя геометрическую вероятность, получаем:

Тогда искомая вероятность равна

Ответ: 0,111.

Задача 3. При повышении напряжения в сети машина А выходит из строя с вероятностью 0,1, а машина В – с вероятностью 0,2. Определить вероятность того, что а) обе машины выйдут из строя; б) хотя бы одна из машин выйдет из строя, если машины выходят из строя независимо друг от друга.

Решение. Введем события:

А − из строя вышла машина А;

В − из строя вышла машина В.

Тогда искомые вероятности найдем по следующим формулам:

А)

Б)

Ответ: а) 0,02; б) 0,28.

Задача 4. В первой урне 2 белых и 5 черных шаров, во второй – 5 белых и 2 черных. Из первой во вторую переложили один шар, затем из второй урны извлекли один шар. Определить вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны – черный.

Решение. Пусть событие А – шар, извлеченный из второй урны, оказался черным.

Введем гипотезы:

из первой урны во вторую переложили черный шар;

из первой урны во вторую переложили белый шар.

Вероятности гипотез равны соответственно

Если происходит событие , то во второй урне станет 2 + 1 = 3 черных и 5 белых шаров. В этом случае вероятность наступления А равна

Если же происходит событие , то во второй урне станет 5 + 1 = 6 белых и 2 черных шара. В этом случае вероятность наступления А равна

Тогда по формуле полной вероятности получаем:

Ответ: 0,339.

Задача 5. Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове 0,2. Определить вероятность того, то при 5 вызовах число сбоев не более двух.

Решение. Условие задачи соответствует схеме Бернулли.

Для нахождения искомой вероятности воспользуемся формулой Бернулли:

Со следующими параметрами: .

Тогда искомая вероятность

Ответ: 0,942.

Задача 6. Случайная величина Х – число сбоев в предыдущей задаче. Найти 1) ряд распределения, 2) функцию распределения и ее график, 3) M[X], 4) D[X], 5) СКВО, 6) P{x>4}.

Решение. 1) Случайная величина Х – число сбоев в работе телефонной станции при 5 вызовах, может принимать следующие возможные значения:

0, 1, 2, 3, 4, 5.

Найдем вероятности соответствующие данным значениям, используя формулу Бернулли: