Теория вероятности 02

Контрольная работа №5

Задача 5 Из семи одинаковых карточек разрезной азбуки. «а», «к», «н», «о», «с», «y» и «ф» наудачу выбирают 5 карточек и складывают их в ряд в порядке извлечения. Какова вероятность получить при этом слово «конус»?

Решение

Событие А: составить слово конус.
оно состоит из 5х независимых событий А1, А2, А3, А4 и А5.
А1: вытянуть букву К.

А2: вытянуть букву О.
А3: вытянуть букву Н.
А4: вытянуть букву У.

А5: вытянуть букву С.

Поскольку события независимы, то р(А)=р(А1)*р(А2)*р(А3)*р(А4)*р(А5)

Вероятность вытянуть первой К р(А1)= 1\7
Вероятность вытянуть второй О р(А2)= 1\6
Вероятность вытянуть третьей Н р(А3)= 1\5
Вероятность вытянуть четвертой У р(А4)= 1\4

Вероятность вытянуть четвертой С р(А5)= 1\3

А вероятность составления слова конус

Ответ:

Задача 19 Три электрические лампочки последовательно включены в цепь. Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит, если напряжение в сети превысит номинальное, равна 0,6. Найти вероятность того, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет.

Решение

Обозначим через , и события, состоящие в том, что в результате опыта перегорела, соответственно, 1-я, 2-я и 3-я лампочка. Пусть событие В - это разрыв цепи (или, что то же, отсутствие тока). Тогда и, соответственно, .

Поскольку перегорания лампочек подразумеваются независимыми - выгоднее перейти к противоположному событию, чтобы можно было воспользоваться формулой умножения вероятностей:

$p(\overline b)=p(\overline{a_1+a_2+a_3})=p(\overline{a_1}\cdot\overline{a_2}\cdot\overline{a_3})=p(\overline{a_1})\cdot p(\overline{a_2})\cdot p(\overline{a_3}).$

Получим

Тогда, искомая вероятность

Ответ:

Задача 21 Игральная кость брошена 3 раза. Написать закон распределения числа появлений шестерки.

Решение

Вероятность появления события Х в каждом испытании ; вероятность не появления . Х может принимать значения 0, 1, 2 и 3. Далее вычисляются вероятности Р(Х=k) по формуле Бернулли.

Имеем схему Бернулли с .

; .

Тогда закон распределения Х имеет вид:

	0	1	2	3

Ответ: . X 3 2 1 0

р 1/216 15/216 75/216 125/216

Задача 39 Haйти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X и Y. Z=X+2Y, M(X)=5, M(Y)=3

Решение

Используя свойства математического ожидания (математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания), получим

М(Z)=М(X+2Y)=М(X)+М(2Y)= М(X)+2М(Y)=5+2*3=11

Ответ: М(Z)=11

Задача 41

Дано распределение выборки:

I	Xi-xi+1	Ni
1.	2-4	2
2.	4-6	5
3.	6-8	8
4.	8-10	4
5.	10-12	1

-Построить гистограмму плотности относительных частот.

- Получить точечные оценки математического ожидания (выборочной средней) и дисперсии.

-Получить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии с надежностью 0,95.

Решение

Найдём объём выборки n=2+5+8+4+1=20.

Деля частоты на объём выборки, находим относительные частоты: , , , ,

Построим гистограмму плотности относительных частот.

Составим таблицу

Группы	X	Кол-во n	X * n	S	(x - xср) * n	(x - xср)2 * n	Частота
2 - 4	5	2	10	2	7.4	27.38	0.1
4 - 6	7	5	35	7	8.5	14.45	0.25
6 - 8	9	8	72	15	2.4	0.72	0.4
8 - 10	11	4	44	19	9.2	21.16	0.2
10 - 12	13	1	13	20	4.3	18.49	0.05
	45	20	174		31.8	82.2	1

Точечная оценка математического ожидания определяется по формуле . В нашем случае .

Точечная оценка дисперсии определяется по формуле . В нашем случае .

Получим интервальную оценку математического ожидания с надежностью 0,95 по формуле . В нашем случае . Найдём t из соотношения . По таблице значений функции находим t=1.96.

, , ,

Получим интервальную оценку дисперсии с надежностью 0,95.

По формуле , при надёжности 0,95 и степенью свободы 20: . Тогда , ,

< Предыдущая		Следующая >