Теория вероятности 12

Задание 1.

Имеется набор карточек со всеми буквами русского алфавита (по одной картонке с каждой буквой). Наудачу выбираются 6 карточек. Какова вероятность того, что они составят слово «футбол», если вынутые карточки можно переставлять?

Решение

Используем формулу классического определения вероятности.

Общее число элементарных исходов равно числу способов, которыми можно выбрать из 33 букв алфавита по 6 различных букв, т. е. .

Число благоприятствующих исходов . Тогда

Ответ:

Задание 2.

Брошено 10 игральных костей. Предполагая, что все комбинации очков равновозможны, найти вероятность того, что выпало ровно три "шестерки".

Решение

Используем формулу Бернулли .

В нашем случае вероятность выпадения «шестёрки» на одной кости (следовательно, ), число испытаний n=10, k=3 - нужное число выпадений.

Подставим в формулу и просчитаем.

Ответ:

Задание 3.

Судно, имеющее одно рулевое устройство, четыре котла и две турбины, считается управляемым, если исправно рулевое устройство, хотя бы один из котлов и хотя бы одна из турбин. Событие А означает исправность рулевого устройства. В K (k=1, 2, 3, 4) – исправность k-го котла и Сj (j=I, 2) - исправность j-ой турбины. Выразить через А, Вk и Сj событие - судно не является управляемым

Решение

Событие “исправен хотя бы один котел” есть сумма событий : .

Аналогично событие “исправна хотя бы одна турбина” есть сумма событий :.

Тогда D есть произведение событий А, и :

Используя свойства операций над событиями, находим

Ответ:

Задание 4.

Автомат штампует детали. Вероятность того, что за каждый час работы автомата не будет выпущено Ни одной нестандартной детали, равна 0.9. Найти вероятности событий

А - Будут стандартными все детали, изготовленные станком за три часа,

В - В течение хотя бы одного из трех часов автомат штамповал только стандартные детали

Решение

Пусть события :

- в первый час работы автомат штамповал только стандартные детали, тогда, по условию,

По теореме умножения вероятностей независимых событий, вероятность того, что будут стандартными все детали, изготовленные станком за три часа

Для нахождения вероятности того, что В течение хотя бы одного из трех часов автомат штамповал только стандартные детали используем вероятность противоположного события

Вероятность того, что в течение трех часов автомат штамповал только нестандартные детали равна

Тогда, искомая вероятность:

Ответ: ,

Задание 5.

Игра проводится до выигрыша одним из двух игроков двух партий подряд (ничьи исключаются). Вероятность выигрыша партии каждым из игроков равна 0.5 и не зависит от исходов предыдущих партий. Найти вероятность того, что игра окончится до шестой партии.

Решение

Для простоты будем обозначать "1" - выиграл первый игрок и "0" - второй. Тогда ход игры можно записать в виде последовательности нолей и единиц.

Например, все возможные варианты игры из двух партий: "00", "01", "10" и "11".

Вероятность исхода партии p=0,5 делает равновероятными всевозможные варианты исхода последовательности партий, например, в игре из двух партий:

P(00) = 0,5*0,5 = 0,25;

P(01) = 0,5*0,5 = 0,25;

P(10) = 0,5*0,5 = 0,25;

P(11) = 0,5*0,5 = 0,25.

Разделим событие H: "игра закончится до 6-ти партий" на события:

A - "игра закончится после 2 партий". P(A) = P(00) + P(11) = 0,25 + 0,25 = 0,5.

B - "игра закончится после 3 партий".

P(B)=P(011)+P(100)=0,5*0,5*0,5+0,5*0,5*0,5=0,125+0,125=0,25.

C - "игра закончится после 4 партии".

P(С)=P(0100)+P(1011)=0,5*0,5*0,5*0,5+0,5*0,5*0,5*0,5=0,0625+0,0625=

=0,125.

D - "игра закончится после 5 партии".

P(D)=P(01011)+P(10100)=0,5*0,5*0,5*0,5*0,5+0,5*0,5*0,5*0,5*0,5=

=0,03125+0,03125=0,0625.

Итого имеем:

P(H)=P(A)+P(B)+P(С)+P(D)=0,5+0,25+0,125+0,0625=0,9375.

Ответ: P(H)=0,9375.

Задание 6.

В студенческом стройотряде две бригады первокурсников и одна –

Второкурсников. В каждой бригаде первокурсников пять юношей и три девушки, а в бригаде второкурсников четыре юноши и четыре девушки. По жеребьевке из отряда выбрали одну из бригад и из нее одного человека для поездки в город. Найти вероятности событий

1) выбран юноша,

2) выбранный юноша – первокурсник.

Решение

Пусть событие А – выбран юноша.

Гипотезы:

Н1 – была выбрана бригада первокурсников,

Н2 – была выбрана бригада второкурсников.

А) Находим вероятности гипотез: (из трех бригад две первокурсников), (бригада второкурсников одна).

Условная вероятность того, что выбранный человек является юношей первокурсником: Р(А/Н1)=5/8.

Условная вероятность того, что выбранный человек является юношей второкурсником: Р(А/Н2)=1/2,

Вероятность того, что наудачу выбранный человек - юноша
определяется по формуле полной вероятности:

Р(А)=Р(А/Н1)Р(Н1)+Р(А/Н2)Р(Н2)=5/8*2/3+1/2* 1/3=7/12.

Б) Искомая вероятность того, что выбранный человек – юноша с первого курса определяется по формуле Байеса:

Ответ: а) , б)

Задание 7.

В термической лаборатории цеха за одну смену проводится пять повторных независимых измерений температуры электропечи. Вероятность того, что при одном измерении ошибка превысит заданную точность, равна 0.1. Найти вероятность того, что по крайней мере три измерения были произведены с необходимой точностью.

Решение

Используем формулу Бернулли .

Вероятность того, что при одном измерении ошибка не превысит заданную точность, равна (следовательно, ).

Число испытаний n=5 .

K=3, k=4, k=5 - нужное число выпадений.

Подставим в формулу и просчитаем.

Ответ:

< Предыдущая		Следующая >