Вариант 1
5. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х имеет вид: 
Необходимо:
Определить значение ;
Вычислить математическое ожидание , дисперсию и среднеквадратичное отклонение ;
Найти интегральную функцию распределения вероятностей ;
Построить графики функций ;
Вычислить вероятность выполнения неравенства .
Решение:
Значение определим из условия :
.
Математическое ожидание , дисперсию и среднеквадратичное отклонение :
Данная функция плотности распределения говорит о том, что Х имеет равномерное распределение на отрезке . Тогда

Интегральная функция распределения:

Строим графики функций:

.
6. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х имеет вид . Требуется:
Определить значение ;
Вычислить математическое ожидание , дисперсию и среднеквадратичное отклонение ;
Найти интегральную функцию распределения вероятностей ;
Вычислить вероятность выполнения неравенства .
Решение:
Сравнивая заданную плотность распределения с плотностью нормально распределенной НСВ , находим, что , откуда . Итак, имеем:
.
Интегральная функция распределения данной НСВ, как величины, распределенной по нормальному закону, принимает вид:
,
Где – функция Лапласа.
Вероятность того, что значения величины Х принадлежат интервалу (-0,75;0,25), вычисляется по формуле

7. В высшем учебном заведении проводилось тестирование студентов с целью выяснения ровня знаний по курсу высшей математики. Студенты, кроме ответов на предложенные вопросы, должны были указать, сколько времени каждый из них тратил на подготовку к тесту. Итогом тестирования оказалась генеральная совокупность данных объемом N = 600 с двумя числовыми признаками: результат тестирования в баллах (признак 1) и время, израсходованное на подготовку к тесту в часах (признак 2).
Нужно:
Создать индивидуальную выборочную совокупность данных (признаки 1 и 2) объемом П = 100 согласно указанному преподавателем индивидуального номера К І следующего правила: из генеральной совокупности выбрать 100 значений признаков 1 и 2 с последовательными номерами NN = К, К+5, К+10,...., К+495 (все значения признака 1 увеличить при этом на величину К);
После упорядочения значений признака 1 по возрастанию построить для этого признака интервальный вариационный ряд;
Построить многоугольник и гистограмму выборочного распределения признака 1;
Определить числовые характеристики построенного выборочного распределения: а) выборочную среднюю, б) выборочную дисперсию, в) выборочное среднеквадратичное отклонение;
Для построенного выборочного распределения проверить гипотезу о том, что признак 1 в генеральной совокупности распределено по нормальному закону (уровень значимости = 0,05);
При доверительной вероятности = 0,95 определить доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии и среднеквадратичного отклонения признака 1 в генеральной совокупности, используя для этого первые (20 + Q) Значений признака 1 в начальной (неупорядоченной) выборке; Q - Последняя цифра индивидуального номера К;
Для тех же (20 + Q) Первых значений признаков 1 и 2 построить уравнение прямой линии регрессии Y (признак 1) на X (признак 2) и уравнение прямой линии регрессии X На У. Определить коэффициенты корреляции и детерминации и объяснить содержание этих коэффициентов. Построить графики прямых линий регрессии вместе с заданным корреляционным полем.
N
|
Х
|
У
|
N
|
Х
|
У
|
N
|
Х
|
У
|
N
|
Х
|
У
|
N
|
Х
|
У
|
N
|
Х
|
У
|
1
|
222
|
34
|
86
|
190
|
28
|
171
|
336
|
37
|
256
|
218
|
38
|
341
|
337
|
41
|
426
|
227
|
38
|
6
|
89
|
17
|
91
|
92
|
14
|
176
|
205
|
25
|
261
|
130
|
24
|
346
|
233
|
40
|
431
|
254
|
35
|
11
|
196
|
33
|
96
|
189
|
29
|
181
|
66
|
11
|
266
|
201
|
11
|
351
|
87
|
10
|
436
|
330
|
37
|
16
|
289
|
39
|
101
|
167
|
19
|
186
|
172
|
29
|
271
|
342
|
37
|
356
|
128
|
23
|
441
|
192
|
33
|
21
|
206
|
30
|
106
|
224
|
39
|
191
|
337
|
18
|
276
|
205
|
25
|
361
|
170
|
26
|
446
|
277
|
41
|
26
|
77
|
20
|
111
|
251
|
39
|
196
|
228
|
37
|
281
|
66
|
11
|
366
|
192
|
29
|
451
|
187
|
31
|
31
|
207
|
25
|
116
|
115
|
13
|
201
|
167
|
39
|
286
|
72
|
26
|
371
|
271
|
36
|
456
|
238
|
32
|
36
|
96
|
22
|
121
|
306
|
21
|
206
|
224
|
39
|
291
|
257
|
18
|
376
|
294
|
13
|
461
|
140
|
25
|
41
|
336
|
41
|
126
|
237
|
39
|
211
|
251
|
39
|
296
|
228
|
34
|
381
|
228
|
30
|
466
|
191
|
10
|
46
|
333
|
40
|
131
|
264
|
35
|
216
|
115
|
13
|
301
|
238
|
30
|
386
|
190
|
28
|
471
|
337
|
36
|
51
|
87
|
14
|
136
|
329
|
38
|
221
|
206
|
21
|
306
|
305
|
17
|
391
|
92
|
15
|
476
|
205
|
25
|
56
|
128
|
23
|
141
|
212
|
30
|
226
|
237
|
39
|
311
|
212
|
33
|
396
|
189
|
29
|
481
|
86
|
11
|
61
|
170
|
26
|
146
|
277
|
41
|
231
|
264
|
25
|
316
|
289
|
39
|
401
|
197
|
17
|
486
|
202
|
29
|
66
|
191
|
29
|
151
|
197
|
30
|
236
|
329
|
38
|
321
|
206
|
32
|
406
|
244
|
39
|
491
|
337
|
18
|
71
|
271
|
36
|
156
|
218
|
33
|
241
|
212
|
31
|
326
|
77
|
22
|
411
|
251
|
37
|
496
|
268
|
37
|
76
|
294
|
33
|
161
|
130
|
24
|
246
|
277
|
41
|
331
|
207
|
25
|
416
|
115
|
13
| | | |
81
|
228
|
30
|
166
|
201
|
11
|
251
|
197
|
30
|
336
|
296
|
22
|
421
|
296
|
22
| | | |
Решение:
N
|
181
|
281
|
286
|
26
|
326
|
481
|
51
|
351
|
91
|
391
|
36
|
6
|
Х
|
50
|
50
|
56
|
61
|
61
|
70
|
71
|
71
|
76
|
76
|
80
|
89
|
У
|
11
|
11
|
26
|
20
|
22
|
11
|
14
|
10
|
14
|
15
|
22
|
17
|
N
|
116
|
216
|
416
|
56
|
356
|
161
|
261
|
461
|
101
|
201
|
61
|
361
|
Х
|
99
|
99
|
99
|
112
|
112
|
114
|
114
|
124
|
151
|
151
|
154
|
154
|
У
|
13
|
13
|
13
|
23
|
23
|
24
|
24
|
25
|
19
|
39
|
26
|
26
|
N
|
186
|
451
|
96
|
396
|
86
|
386
|
66
|
466
|
366
|
441
|
151
|
251
|
Х
|
156
|
171
|
173
|
173
|
174
|
174
|
175
|
175
|
176
|
176
|
181
|
181
|
У
|
29
|
31
|
29
|
29
|
28
|
28
|
29
|
10
|
29
|
33
|
30
|
30
|
N
|
401
|
166
|
266
|
486
|
176
|
276
|
476
|
21
|
221
|
321
|
31
|
331
|
Х
|
181
|
185
|
185
|
186
|
189
|
189
|
189
|
190
|
190
|
190
|
191
|
191
|
У
|
17
|
11
|
11
|
29
|
25
|
25
|
25
|
30
|
21
|
32
|
25
|
25
|
N
|
11
|
141
|
241
|
311
|
156
|
256
|
106
|
206
|
426
|
81
|
196
|
296
|
Х
|
196
|
196
|
196
|
196
|
202
|
202
|
208
|
208
|
211
|
212
|
212
|
212
|
У
|
33
|
30
|
31
|
33
|
33
|
38
|
39
|
39
|
38
|
30
|
37
|
34
|
N
|
381
|
346
|
126
|
226
|
1
|
301
|
456
|
406
|
111
|
211
|
411
|
431
|
Х
|
212
|
217
|
221
|
221
|
222
|
222
|
222
|
228
|
235
|
235
|
235
|
238
|
У
|
30
|
40
|
39
|
39
|
34
|
30
|
32
|
39
|
39
|
39
|
37
|
35
|
N
|
291
|
131
|
231
|
496
|
71
|
371
|
146
|
246
|
446
|
16
|
316
|
76
|
Х
|
241
|
248
|
248
|
252
|
255
|
255
|
261
|
261
|
261
|
273
|
273
|
278
|
У
|
18
|
35
|
25
|
37
|
36
|
36
|
41
|
41
|
41
|
39
|
39
|
33
|
N
|
376
|
336
|
421
|
306
|
121
|
136
|
236
|
436
|
46
|
41
|
171
|
191
|
Х
|
278
|
280
|
280
|
289
|
290
|
313
|
313
|
314
|
317
|
320
|
320
|
321
|
У
|
13
|
22
|
22
|
17
|
21
|
38
|
38
|
37
|
40
|
41
|
37
|
18
|
N
|
341
|
471
|
491
|
271
| | | | | | | | |
Х
|
321
|
321
|
321
|
326
| | | | | | | | |
У
|
41
|
36
|
18
|
37
| | | | | | | | |
После упорядочения значений признака 1 по возрастанию построить для этого признака интервальный вариационный ряд: данные уже упорядочены по возрастанию Х. Строим вариационный ряд:
Х
|
50
|
56
|
61
|
70
|
71
|
76
|
80
|
89
|
99
|
112
|
114
|
124
|
N
|
2
|
1
|
2
|
1
|
2
|
2
|
1
|
1
|
3
|
2
|
2
|
1
|
Х
|
151
|
154
|
156
|
171
|
173
|
174
|
175
|
176
|
181
|
185
|
186
|
189
|
N
|
2
|
2
|
1
|
1
|
2
|
2
|
2
|
2
|
3
|
2
|
1
|
3
|
Х
|
190
|
191
|
196
|
202
|
208
|
211
|
212
|
217
|
221
|
222
|
228
|
235
|
N
|
3
|
2
|
4
|
2
|
2
|
1
|
4
|
1
|
2
|
3
|
1
|
3
|
Х
|
238
|
241
|
248
|
252
|
255
|
261
|
273
|
278
|
280
|
289
|
290
|
313
|
N
|
1
|
1
|
2
|
1
|
2
|
3
|
2
|
2
|
2
|
1
|
1
|
2
|
Х
|
314
|
317
|
320
|
321
|
326
| | | | | | | |
N
|
1
|
1
|
2
|
4
|
1
| | | | | | | |
Интервальный ряд:


|
44-80
|
80-116
|
116-152
|
152-188
|
188-224
|
224-260
|
260-296
|
296-332
|
Середина интервала, 
|
62
|
98
|
134
|
170
|
206
|
242
|
278
|
314
|

|
11
|
8
|
3
|
18
|
27
|
11
|
11
|
11
|

|
0,11
|
0,08
|
0,03
|
0,18
|
0,27
|
0,11
|
0,11
|
0,11
|
Построить многоугольник и гистограмму выборочного распределения признака 1:


Определить числовые характеристики построенного выборочного распределения:
А) выборочную среднюю:

Б) выборочную дисперсию:
В) выборочное среднеквадратичное отклонение:
.
Для построенного выборочного распределения проверить гипотезу о том, что признак 1 в генеральной совокупности распределен по нормальному закону (уровень значимости = 0,05):
Составим расчетную таблицу:

|

|
= −
|

|

|

|

|

|
62
|
11
|
-134,64
|
-1,8137
|
0,07703
|
3,73526
|
4
|
12,25
|
98
|
8
|
-98,64
|
-1,3287
|
0,16502
|
8,0024
|
8
|
0,00
|
134
|
3
|
-62,64
|
-0,8438
|
0,27945
|
13,5516
|
14
|
8,64
|
170
|
18
|
-26,64
|
-0,3589
|
0,37406
|
18,1397
|
18
|
0,00
|
206
|
27
|
9,36
|
0,12608
|
0,39578
|
19,1929
|
19
|
3,37
|
242
|
11
|
45,36
|
0,61102
|
0,33101
|
16,0518
|
16
|
1,56
|
278
|
11
|
81,36
|
1,09595
|
0,21882
|
10,6115
|
11
|
0,00
|
314
|
11
|
117,36
|
1,58089
|
0,11434
|
5,54496
|
6
|
4,17
|
Сумма
|
100
| | | |
95
|
96
|
29,99
|
Найдем наблюдаемое значение критерия Пирсона:
,
По таблице критических точек распределения , по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы K = S – 3 = 8 – 3 = 5 находим критическую точку правосторонней области:

Так как нет оснований принимать гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.
При доверительной вероятности = 0,95 определить доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии и среднеквадратичного отклонения признака 1 в генеральной совокупности, используя для этого первые 21 значений признака 1 в начальной (неупорядоченной) выборке.
Х
|
У
|
Х
|
У
|
222
|
34
|
112
|
23
|
89
|
17
|
154
|
26
|
196
|
33
|
175
|
29
|
273
|
39
|
255
|
36
|
190
|
30
|
278
|
33
|
61
|
20
|
212
|
30
|
191
|
25
|
174
|
28
|
80
|
22
|
76
|
14
|
320
|
41
|
173
|
29
|
317
|
40
|
151
|
19
|
71
|
14
| | |
Итак,

Найдем выборочное значение дисперсии:

Ищем критическое значение t при уровне значимости 0,95 и 21-1=20 степенях свободы t= 2,086. Тогда

Доверительный интервал для среднего:

Остальные доверительные интервалы:

Итак, для дисперсии доверительный интервал с вероятностью 0,95 (58; 206,642), для СКО (7,62; 14,38).
Для тех же 21 первых значений признаков 1 и 2 построить уравнение прямой линии регрессии Y (признак 1) на X (признак 2) и уравнение прямой линии регрессии X На У. Определить коэффициенты корреляции и детерминации и объяснить содержание этих коэффициентов. Построить графики прямых линий регрессии вместе с заданным корреляционным полем
Составим расчетную таблицу:
I
|

|

|

|

|

|

|
Y-
|

|
X-
|
1
|
222
|
49284
|
34
|
1156
|
7548
|
31,7756
|
2,2244
|
237,1137
|
-15,1137
|
2
|
89
|
7921
|
17
|
289
|
1513
|
19,0589
|
-2,0589
|
81,3592
|
7,6408
|
3
|
196
|
38416
|
33
|
1089
|
6468
|
29,2896
|
3,7104
|
227,9517
|
-31,9517
|
4
|
273
|
74529
|
39
|
1521
|
10647
|
36,6519
|
2,3481
|
282,9238
|
-9,9238
|
5
|
190
|
36100
|
30
|
900
|
5700
|
28,7160
|
1,2840
|
200,4656
|
-10,4656
|
6
|
61
|
3721
|
20
|
400
|
1220
|
16,3818
|
3,6182
|
108,8453
|
-47,8453
|
7
|
191
|
36481
|
25
|
625
|
4775
|
28,8116
|
-3,8116
|
154,6554
|
36,3446
|
8
|
80
|
6400
|
22
|
484
|
1760
|
18,1984
|
3,8016
|
127,1694
|
-47,1694
|
9
|
320
|
102400
|
41
|
1681
|
13120
|
41,1458
|
-0,1458
|
301,2479
|
18,7521
|
10
|
317
|
100489
|
40
|
1600
|
12680
|
40,8589
|
-0,8589
|
292,0859
|
24,9141
|
11
|
71
|
5041
|
14
|
196
|
994
|
17,3379
|
-3,3379
|
53,8731
|
17,1269
|
12
|
112
|
12544
|
23
|
529
|
2576
|
21,2581
|
1,7419
|
136,3314
|
-24,3314
|
13
|
154
|
23716
|
26
|
676
|
4004
|
25,2739
|
0,7261
|
163,8175
|
-9,8175
|
14
|
175
|
30625
|
29
|
841
|
5075
|
27,2817
|
1,7183
|
191,3036
|
-16,3036
|
15
|
255
|
65025
|
36
|
1296
|
9180
|
34,9309
|
1,0691
|
255,4378
|
-0,4378
|
16
|
278
|
77284
|
33
|
1089
|
9174
|
37,1300
|
-4,1300
|
227,9517
|
50,0483
|
17
|
212
|
44944
|
30
|
900
|
6360
|
30,8195
|
-0,8195
|
200,4656
|
11,5344
|
18
|
174
|
30276
|
28
|
784
|
4872
|
27,1861
|
0,8139
|
182,1415
|
-8,1415
|
19
|
76
|
5776
|
14
|
196
|
1064
|
17,8160
|
-3,8160
|
53,8731
|
22,1269
|
20
|
173
|
29929
|
29
|
841
|
5017
|
27,0905
|
1,9095
|
191,3036
|
-18,3036
|
21
|
151
|
22801
|
19
|
361
|
2869
|
24,9870
|
-5,9870
|
99,6833
|
51,3167
|

|
3770
|
803702
|
582
|
17454
|
116616
|
582
|
0
|
3770
|
0
|

|
179,524
|
38271,524
|
27,714
|
831,143
|
5553,143
|
27,714
|
0,000
|
179,524
|
0,000
|
Вычислим дисперсии:

Выборочные коэффициенты корреляции и детерминации:
.
Строим выборочное уравнение прямой линии регрессии У на х

Уравнение Х на У:

Строим графики:
Итак, полученное значение выборочного коэффициента корреляции 0,936 достаточно близко к 1. Поэтому связь между Х и У считается тесной, о чем говорит и сильная близость графиков линейных функций регрессии друг к другу.
|