Теория поля
1) Скалярное поле определено функцией . Найти градиент поля и построить поверхности уровня для
По определению градиента скалярного поля
.
Находим частные производные функции :
, ,
Таким образом .
Построим поверхности уровня:
, тогда ‑ точка, начало координат
, тогда ‑ эллипсоид с вершиной в начале координат
, тогда ‑ эллипсоид с вершиной в начале координат
, тогда ‑ эллипсоид с вершиной в начале координат.
Изобразим данные поверхности
2) Найти производную функции в точке в направлении , где
Производную по направлению ищем по формуле:
, ,
, ,
Найдем единичный вектор , имеющий данное направление:
, отсюда
Тогда имеем:
Ответ:
3) Показать что поле вектора является потенциальным и найти его потенциал.
Решение
Необходимым и достаточным условием потенциальности поля является равенство нулю вихря поля. В нашем случае
.
Таким образом, поле является потенциальным.
Обозначим - искомый потенциал. По определению потенциального поля, поле градиента искомой функции должно совпадать с векторным полем .
Поэтому . Отсюда , , где - некоторая функция аргументов и .
Из условия , можно сделать вывод, что . Таким образом, .
Неопределенную функцию найдем из условия . Решением последнего уравнения является функция .
В итоге потенциал имеет вид .
4) Найти векторные линии
Решение
Согласно определению векторных линий, векторные линии - это линии, в каждой точке которых вектор поля является касательным
Составляем систему: .
Решим ее методом составления интегрируемых комбинаций:
Равенство образует первую интегрируемую комбинацию.
Получаем .
Для получения еще одной интегрируемой комбинации используем свойство пропорции: .
Тогда, в нашем случае
Таким образом, векторные линии задаются системой:
5) Найти поток вектора
А) Через поверхность сферы
Б) Через площадь круга ,
В положительном направлении оси Oz.
Решение
А) Через поверхность сферы
По теореме Остроградского-Гаусса , тогда
Тогда .
Перейдём к сферическим координтам: ,
Тогда
Получим: б) Через площадь круга ,
По формуле
Так как круг лежит в плоскости , то
Тогда получим
Ответ: ,
< Предыдущая | Следующая > |
---|