Случайные величины
1. В результате эксперимента получены следующие значения с. в.:
3; 6; 8; 11; 6; 10; 7; 9; 7; 3; 4; 8; 2; 7; 9; 4; 9; 11; 7; 8; 4; 10; 5; 6; 7.
Построить полигон частот и статистическую функцию распределения. Найти выборочное среднее, дисперсию, моду и медиану.
Решение. Имеем выборку объема N = 25. Построим ранжированный (в порядке возрастания) ряд вариант с соответствующими им частотами. Для этого сначала ранжируем варианты выборки.
Получаем:
2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11.
Подсчитав количество повторений каждой варианты, получим требуемый дискретный вариационный ряд распределения выборки с. в. X:
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
|
1 |
2 |
3 |
1 |
3 |
5 |
3 |
3 |
2 |
2 |
Полигоном частот называют ломанную, отрезки который соединяют точки (X1, N1), (X2, N2), …, (Xk, Nk).
Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты Xi, а на оси ординат – соответствующие им частоты Ni. Точки (Xi, Ni) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот:
Для определения частостей вариант нужно вычислить для каждой варианты отношение Ni/N = WI, где N = 25 – объем выборки.
Получаем вариационный ряд вариант с соответствующими им частостями:
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
|
0,04 |
0,08 |
0,12 |
0,04 |
0,12 |
0,2 |
0,12 |
0,12 |
0,08 |
0,08 |
Статистической функцией распределения 
называется относительная частота (частность) того, что признак примет значение, меньшее заданного 
, т. е.
Запишем значения статистической (эмпирической) функции распределения в аналитическом виде:
Ее график имеет вид:
Определим выборочную среднюю:
.
Вычислим дисперсию:
Медианой 
вариационного ряда называется значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений:
Модой 
называется варианта, которой соответствует наибольшая частота:
2. Результаты исследования числа покупателей в универсаме в зависимости от времени работы приведены в таблице
|
Часы работы |
9–10 |
10–11 |
11–12 |
12–13 |
|
Число покупателей |
41 |
82 |
117 |
72 |
Можно ли утверждать при уровне значимости A = 0.05, что число покупателей подчинено нормальному закону?
|
Интервал |
Частота |
Середина интервала | |
|
9 |
10 |
41 |
9,5 |
|
10 |
11 |
82 |
10,5 |
|
11 |
12 |
117 |
11,5 |
|
12 |
13 |
72 |
12,5 |
Определим выборочную среднюю:
Вычислим дисперсию:
Выдвигаем гипотезу о распределении исследуемой случайной величины по нормальному закону.
Вычислим теоретические частоты, учитывая, что 
по формуле
Получаем:
Составим расчетную таблицу:
|
|
|
|
|
|
|
9,5 |
-1,705 |
-1,77 |
0,0833 |
26,93 |
|
10,5 |
-0,705 |
-0,73 |
0,3056 |
98,81 |
|
11,5 |
0,295 |
0,31 |
0,3802 |
122,92 |
|
12,5 |
1,295 |
1,34 |
0,1626 |
52,57 |
Найдем наблюдаемое значение критерия Пирсона:
,
Для чего составим расчетную таблицу.
|
|
|
|
|
|
|
41 |
26,93 |
14,07 |
197,965 |
7,351 |
|
82 |
98,81 |
-16,81 |
282,576 |
2,860 |
|
117 |
122,92 |
-5,92 |
35,046 |
0,285 |
|
72 |
52,57 |
19,43 |
377,525 |
7,181 |
|
N = 312 |
|
Из таблицы находим наблюдаемое значение критерия: 
.
По таблице критических точек распределения 
, по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы K = S – 3 = 4 – 3 = 1 находим критическую точку правосторонней области 
Так как 
гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности отклоняем.
3. Средний диаметр подшипников должен составлять 35 мм. Однако для выборки из 82 подшипников он составил 35.3 мм. При исправленном с. к.о. 0.1 мм. При 5% уровне значимости проверить гипотезу о том, что станок, на котором изготавливают подшипники, не требует подналадки.
Решение. Рассмотрим две альтернативные гипотезы
и 
.
Вычислим наблюдаемое значение критерия:
По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид 
, поэтому критическая область – двусторонняя. По уровню значимости 0,05 и числу степеней свободы 
находим по таблице критических точек распределения Стьюдента критическую точку
Так как 
, то нулевую гипотезу отклоняем. Другими словами, выборочная средняя 
значимо отличается от гипотетической генеральной средней 
, следовательно, станок требует наладки.
4. На основании полученных измерений двух случайных величин
|
X |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
|
Y |
5 |
8 |
7 |
9 |
14 |
Найти линейную регрессию X на Y и выборочный коэффициент корреляции.
Решение. Оценим линейную регрессию
,
Воспользуемся нормальной системой метода наименьших квадратов:
Составим расчетную таблицу:
|
Х |
Y |
|
|
|
|
4 |
5 |
16 |
25 |
20 |
|
6 |
8 |
36 |
64 |
48 |
|
8 |
7 |
64 |
49 |
56 |
|
10 |
9 |
100 |
81 |
90 |
|
12 |
14 |
144 |
196 |
168 |
|
∑ = 40 |
∑ = 43 |
∑ = 360 |
∑ = 415 |
∑ = 382 |
Получаем:
То есть уравнение регрессии имеет вид 
.
Линейный выборочный коэффициент корреляции определяется формулой:
Значение выборочного коэффициента корреляции R=0,894 свидетельствует о возможности прямой сильной связи между признаками.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
