Симплекс-метод решения задачи линейного программирования
Пример.
Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.
Рассмотрим однородную задачу ЛП:
(1)
Добавив к левым частям системы неравенств соответствующие балансовые переменные преобразуем задачу (1) в каноническую форму:
(2)
Для удобства и единообразия запишем определение целевой функции в виде уравнения:
(3)
Запишем (2) и (3) в виде первой симплекс таблицы:
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
8 | |
0 |
- 2 |
3 |
0 |
1 |
0 |
9 |
(4) |
0 |
2 |
- 1 |
0 |
0 |
1 |
10 | |
1 |
- 4 |
- 3 |
0 |
0 |
0 |
- 1 |
Первые три строки таблицы (4) содержат, по сути, расширенную матрицу системы линейных уравнений (2), к которой слева приписан столбец переменной . Последняя строка, называемая индексной, содержит уравнение (3). Буквой , как обычно, обозначен столбец свободных членов. Отметим, что таким образом составленная таблица (4) называется симплексной, поскольку задача (2) имеет симплексную форму. Напомним, что это означает, что, во-первых, матрица системы (и таблица (4)) содержат т базисных столбцов (столбцы ), где т - число уравнений (в данном случае ); во-вторых, все элементы столбца свободных членов неотрицательны (это числа 8, 9 и 10), кроме, возможно, элемента индексной строки; в - третьих, целевая функция зависит только от свободных переменных (И). Последнее верно, поскольку в базисных столбцах () в индексной строке находятся только нули. Первая симплекс-таблица (4) определяет первое опорное решение. Напомним, что опорное решение является допустимым базисным решением, и, следовательно, свободные переменные и равны нулю: и .
Далее, переменная определяется первой строкой таблицы (4), которая является сокращённой записью первого уравнения системы (2). При оно принимает вид:
Вторая строка таблицы определяет переменную
Третья строка определяет :
Значение целевой функции определяем по индексной строке:
В дальнейшем мы покажем, что оптимальное решение канонической задачи ЛП является опорным, и, следовательно, его следует искать среди опорных решений. Симплекс-таблица (4) и дает одно из таких решений. Как проверить, является ли оно оптимальным? Оказывается, просто. Как мы увидим далее, если коэффициенты целевой функции Канонической задачи ЛП неположительные: ,- и функция зависит только от свободных переменных, то соответствующее опорное решение является оптимальным.
Но условие означает, что коэффициенты индексной строки, стоящие в столбцах свободных переменных, должны быть неотрицательны: поскольку индексная строка соответствует уравнению: , - и содержит коэффициенты с противоположным знаком.
Мы видим, что в таблице (4) условие неотрицательности всех элементов индексной строки (разумеется, кроме правой части , стоящей в столбце свободных членов) не выполнено. Более того, оба столбца свободных переменных и содержат в индексной строке отрицательные элементы: - 4 и -3, - соответственно.
Выберем любой из этих столбцов, например, первый и назовем его Ведущим. Определим для каждого так называемое допустимое отношение следующим образом. Если в - ой строке Ведущего столбца стоит неположительный элемент, то положим если же этот элемент то положим ,
Где - номер Ведущего столбца.
В нашем случае и допустимые отношения Соответственно равны:
Добавим к симплекс-таблице (4) столбец :
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
8 |
8 | |
0 |
- 2 |
3 |
0 |
1 |
0 |
9 |
(5) | |
0 |
2 |
- 1 |
0 |
0 |
1 |
10 |
5 | |
1 |
- 4 |
- 3 |
0 |
0 |
0 |
- 1 |
В таблице (5) отрицательный элемент – 4 ведущего столбца взят в рамочку, для того чтобы выделить Ведущий столбец. Можно, разумеется, выделить этот столбец и любым другим разумным образом: цветом, шрифтом и т. п.
Среди всех допустимых отношений найдем наименьшее: .
Наименьшее допустимое отношение соответствует третьей строке таблицы, которую мы теперь объявляем Ведущей строкой. На пересечении Ведущей строки и Ведущего столбца стоит Ключевой элемент таблицы. В нашем случае это Выделим в таблице (5) минимальное допустимое отношение и Ключевой элемент, рамочкой:
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
8 |
8 | |
0 |
- 2 |
3 |
0 |
1 |
0 |
9 |
(6) | |
0 |
2 |
- 1 |
0 |
0 |
1 |
10 |
5 = | |
1 |
- 4 |
- 3 |
0 |
0 |
0 |
- 1 |
Дальнейшая наша цель состоит в том, чтобы преобразовать методом Гаусса таблицу (6) в новую симплекс-таблицу, первый столбец который стал бы базисным, содержащим число 1 в Ведущей (третьей) строке.
Вначале разделим ведущую строку на Ключевой элемент:
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
8 | ||
0 |
- 2 |
3 |
0 |
1 |
0 |
9 |
(7) | |
0 |
1 |
0 |
0 |
5 | ||||
1 |
- 4 |
- 3 |
0 |
0 |
0 |
- 1 | ||
В таблице (7) мы не заполняем столбец , поскольку он нужен, только для того, чтобы определить Ведущую строку, что мы уже сделали. Мы выделили только Ключевой элемент, так как он определяет одновременно и Ведущую строку (третью) и Ведущий столбец (первый).
Проделаем теперь следующие преобразования Гаусса:
1) вычтем из первой строки Ведущую (третью) строку;
2) прибавим ко второй строке Ведущую, умноженную на 2;
3) прибавим к индексной строке Ведущую, умноженную на 4.
В итоге получим новую таблицу:
0 |
0 |
1 |
0 |
3 | ||||
0 |
0 |
2 |
0 |
1 |
1 |
19 |
(8) | |
0 |
1 |
0 |
0 |
5 | ||||
1 |
0 |
- 5 |
0 |
0 |
2 |
19 | ||
Нетрудно видеть, что мы получили симплекс-таблицу. Действительно, в таблице (8) после перестановки столбца со столбцом в последних трех столбцах получается единичная матрица; столбец свободных членов неотрицателен; целевая функция зависит только от свободных переменных И
Отметим, что столбец , став базисным, вытеснил «из базиса» столбец . В силу этого обстоятельства проделанный процесс называют операцией однократного замещения. В данном случае эта операция состояла из последовательности элементарных преобразований Гаусса 1), 2) и 3).
Таким образом, получена вторая симплекс-таблица (8), которой соответствует второе опорное решение. Переменные и - свободные и, следовательно, и . Поскольку первое уравнение имеет вид.
То значение базисной переменной Равно 3: . Базисная переменная определяется вторым уравнением:
А базисная переменная определяется третьим уравнением (так как в столбце единица стоит в третьей строке):
Итак, , - второе опорное решение. Новое значение целевой функции определяется индексной строкой:
Это опорное решение также не является оптимальным, что следует из того, что в индексной строке таблицы (8) имеется отрицательный элемент (-5) во втором столбце, который мы выберем теперь в качестве Ведущего столбца. Затем найдем ведущую строку с минимальным допустимым отношением и Ключевой элемент:
0 |
0 |
1 |
0 |
3 |
2 | |||
0 |
0 |
2 |
0 |
1 |
1 |
19 |
9,5 |
(9) |
0 |
1 |
0 |
0 |
5 | ||||
1 |
0 |
- 5 |
0 |
0 |
2 |
19 |
Разделим ведущую строку (первую) на Ключевой элемент :
0 |
0 |
1 |
0 |
2 | |||
0 |
0 |
2 |
0 |
1 |
1 |
19 |
(10) |
0 |
1 |
0 |
0 |
5 | |||
1 |
0 |
- 5 |
0 |
0 |
2 |
19 | |
Выполним теперь следующие преобразования Гаусса:
1) вычтем из второй строки первую, умноженную на 2;
2) прибавим к третьей строке первую, умноженную на ;
3) прибавим к индексной строке первую, умноженную на 5. В результате получим третью симплекс-таблицу:
0 |
0 |
1 |
0 |
2 | |||
0 |
0 |
0 |
1 |
15 |
(11) | ||
0 |
1 |
0 |
0 |
6 | |||
1 |
0 |
0 |
0 |
29 | |||
Ей соответствует третье опорное решение:
- и значение целевой функции .
Поскольку индексная строка таблицы (11) не содержит отрицательных элементов, полученное опорное решение будет оптимальным: и (12) При этом Здесь мы звездочками помечаем оптимальные значения переменных.
Таким образом, задача (2), а с ней и задача (1) решены.
< Предыдущая | Следующая > |
---|