Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования

PDF Печать E-mail

Пример.

Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.

Рассмотрим однородную задачу ЛП:

(1)

Добавив к левым частям системы неравенств соответствующие балансовые переменные преобразуем задачу (1) в каноническую форму:

(2)

Для удобства и единообразия запишем определение целевой функции в виде уравнения:

(3)

Запишем (2) и (3) в виде первой симплекс таблицы:

0

1

1

1

0

0

8

0

- 2

3

0

1

0

9

(4)

0

2

- 1

0

0

1

10

1

- 4

- 3

0

0

0

- 1

Первые три строки таблицы (4) содержат, по сути, расширенную матрицу системы линейных уравнений (2), к которой слева приписан столбец переменной . Последняя строка, называемая индексной, содержит уравнение (3). Буквой , как обычно, обозначен столбец свободных членов. Отметим, что таким образом составленная таблица (4) называется симплексной, поскольку задача (2) имеет симплексную форму. Напомним, что это означает, что, во-первых, матрица системы (и таблица (4)) содержат т базисных столбцов (столбцы ), где т - число уравнений (в данном случае ); во-вторых, все элементы столбца свободных членов неотрицательны (это числа 8, 9 и 10), кроме, возможно, элемента индексной строки; в - третьих, целевая функция зависит только от свободных переменных (И). Последнее верно, поскольку в базисных столбцах () в индексной строке находятся только нули. Первая симплекс-таблица (4) определяет первое опорное решение. Напомним, что опорное решение является допустимым базисным решением, и, следовательно, свободные переменные и равны нулю: и .

Далее, переменная определяется первой строкой таблицы (4), которая является сокращённой записью первого уравнения системы (2). При оно принимает вид:

Вторая строка таблицы определяет переменную

Третья строка определяет :

Значение целевой функции определяем по индексной строке:

В дальнейшем мы покажем, что оптимальное решение канонической задачи ЛП является опорным, и, следовательно, его следует искать среди опорных решений. Симплекс-таблица (4) и дает одно из таких решений. Как проверить, является ли оно оптимальным? Оказывается, просто. Как мы увидим далее, если коэффициенты целевой функции Канонической задачи ЛП неположительные: ,- и функция зависит только от свободных переменных, то соответствующее опорное решение является оптимальным.

Но условие означает, что коэффициенты индексной строки, стоящие в столбцах свободных переменных, должны быть неотрицательны: поскольку индексная строка соответствует уравнению: , - и содержит коэффициенты с противоположным знаком.

Мы видим, что в таблице (4) условие неотрицательности всех элементов индексной строки (разумеется, кроме правой части , стоящей в столбце свободных членов) не выполнено. Более того, оба столбца свободных переменных и содержат в индексной строке отрицательные элементы: - 4 и -3, - соответственно.

Выберем любой из этих столбцов, например, первый и назовем его Ведущим. Определим для каждого так называемое допустимое отношение следующим образом. Если в - ой строке Ведущего столбца стоит неположительный элемент, то положим если же этот элемент то положим ,

Где - номер Ведущего столбца.

В нашем случае и допустимые отношения Соответственно равны:

Добавим к симплекс-таблице (4) столбец :

0

1

1

1

0

0

8

8

0

- 2

3

0

1

0

9

(5)

0

2

- 1

0

0

1

10

5

1

- 4

- 3

0

0

0

- 1

В таблице (5) отрицательный элемент – 4 ведущего столбца взят в рамочку, для того чтобы выделить Ведущий столбец. Можно, разумеется, выделить этот столбец и любым другим разумным образом: цветом, шрифтом и т. п.

Среди всех допустимых отношений найдем наименьшее: .

Наименьшее допустимое отношение соответствует третьей строке таблицы, которую мы теперь объявляем Ведущей строкой. На пересечении Ведущей строки и Ведущего столбца стоит Ключевой элемент таблицы. В нашем случае это Выделим в таблице (5) минимальное допустимое отношение и Ключевой элемент, рамочкой:

0

1

1

1

0

0

8

8

0

- 2

3

0

1

0

9

(6)

0

2

- 1

0

0

1

10

5 =

1

- 4

- 3

0

0

0

- 1

Дальнейшая наша цель состоит в том, чтобы преобразовать методом Гаусса таблицу (6) в новую симплекс-таблицу, первый столбец который стал бы базисным, содержащим число 1 в Ведущей (третьей) строке.

Вначале разделим ведущую строку на Ключевой элемент:

0

1

1

1

0

0

8

0

- 2

3

0

1

0

9

(7)

0

1

0

0

5

1

- 4

- 3

0

0

0

- 1

В таблице (7) мы не заполняем столбец , поскольку он нужен, только для того, чтобы определить Ведущую строку, что мы уже сделали. Мы выделили только Ключевой элемент, так как он определяет одновременно и Ведущую строку (третью) и Ведущий столбец (первый).

Проделаем теперь следующие преобразования Гаусса:

1) вычтем из первой строки Ведущую (третью) строку;

2) прибавим ко второй строке Ведущую, умноженную на 2;

3) прибавим к индексной строке Ведущую, умноженную на 4.

В итоге получим новую таблицу:

0

0

1

0

3

0

0

2

0

1

1

19

(8)

0

1

0

0

5

1

0

- 5

0

0

2

19

Нетрудно видеть, что мы получили симплекс-таблицу. Действительно, в таблице (8) после перестановки столбца со столбцом в последних трех столбцах получается единичная матрица; столбец свободных членов неотрицателен; целевая функция зависит только от свободных переменных И

Отметим, что столбец , став базисным, вытеснил «из базиса» столбец . В силу этого обстоятельства проделанный процесс называют операцией однократного замещения. В данном случае эта операция состояла из последовательности элементарных преобразований Гаусса 1), 2) и 3).

Таким образом, получена вторая симплекс-таблица (8), которой соответствует второе опорное решение. Переменные и - свободные и, следовательно, и . Поскольку первое уравнение имеет вид.

То значение базисной переменной Равно 3: . Базисная переменная определяется вторым уравнением:

А базисная переменная определяется третьим уравнением (так как в столбце единица стоит в третьей строке):

Итак, , - второе опорное решение. Новое значение целевой функции определяется индексной строкой:

Это опорное решение также не является оптимальным, что следует из того, что в индексной строке таблицы (8) имеется отрицательный элемент (-5) во втором столбце, который мы выберем теперь в качестве Ведущего столбца. Затем найдем ведущую строку с минимальным допустимым отношением и Ключевой элемент:

0

0

1

0

3

2

0

0

2

0

1

1

19

9,5

(9)

0

1

0

0

5

1

0

- 5

0

0

2

19

Разделим ведущую строку (первую) на Ключевой элемент :

0

0

1

0

2

0

0

2

0

1

1

19

(10)

0

1

0

0

5

1

0

- 5

0

0

2

19

Выполним теперь следующие преобразования Гаусса:

1) вычтем из второй строки первую, умноженную на 2;

2) прибавим к третьей строке первую, умноженную на ;

3) прибавим к индексной строке первую, умноженную на 5. В результате получим третью симплекс-таблицу:

0

0

1

0

2

0

0

0

1

15

(11)

0

1

0

0

6

1

0

0

0

29

Ей соответствует третье опорное решение:

- и значение целевой функции .

Поскольку индексная строка таблицы (11) не содержит отрицательных элементов, полученное опорное решение будет оптимальным: и (12) При этом Здесь мы звездочками помечаем оптимальные значения переменных.

Таким образом, задача (2), а с ней и задача (1) решены.

 
Яндекс.Метрика
Наверх