Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home

Примеры решения типовых задач по интегральному исчислению функции одной переменной

PDF Печать E-mail

Задача 25. Вычислить неопределенный интеграл

Решение. Если интеграл не может быть вычислен непосредственно по формулам интегрирования элементарных функций, то во многих случаях введение новой переменной T позволяет преобразовать подынтегральное выражение f(X) DX к такому виду, интегрирование которого можно провести либо по таблице, либо известным приемом.

Независимую переменную X заменим по формуле

Где – дифференцируемая функция.

Затем определим

,

И .

Полученная формула носит название формулы замены переменной в неопределенном интеграле.

В данном примере, согласно методу замены переменной (подстановки) получаем

Задача 26. Вычислить интеграл

Решение. Вычислим данный интеграл методом интегрирования по частям.

Формула интегрирования по частям

Предполагает, что в правой части может быть вычислен легче, чем исходный интеграл.

Приведем следующие рекомендации для применения метода интегрирования по частям.

1. Понижение степени многочлена PN(X) в интеграле типа:

Обозначение многочлена PN(X) через U приводит к понижению степени многочлена в .

2. Избавление от трансцендентных функций в интегралах типа:

В результате обозначения трансцендентных функций через U в эти функции будут отсутствовать.

В данном примере через U целесообразно обозначить трансцендентную функцию . В итоге получим:

Задача 27. Вычислить интеграл

Решение. В данном примере интегрирование по частям применяют несколько раз:

Задача 28. Вычислить определенный интеграл

Решение. Сделаем подстановку. Пусть . Тогда 2х+5=Z3; 2Dx=3Z3Dz; Dx=3/2Z2Dz. Определим пределы интегрирования для переменной Z. При Х=-2 получаем Z=1, при Х=11 получаем Z=3.

Выразив подынтегральное выражение через Z и переходя к новым пределам получим

Так как разность кубов , то, сократив на знаменатель, получим

Задача 29. Вычислить площадь поверхности эллипсоида, полученного вращением вокруг оси Ох эллипса:

(1)

Решение. Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги кривой Y=F(X) между точками с абсциссами Х=а и Х=B, вычисляется по формуле

(2)

Из уравнения эллипса (1) находим . Производная . Используя формулу (2), получим

Чтобы вычислить последний интеграл, положим . Тогда Z=0 при Х=0 и Z=p/4 при Х=2. Имеем

Задача 30. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Решение. Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв при Х=1, т. е. в точке, принадлежащей интервалу интегрирования. Данный интеграл является несобственным. Если подынтегральная функция F(X) интеграла имеет бесконечный разрыв при Х=с, где А<С<B, а во всех других точках отрезка [A,B] непрерывна, то по определению полагают:

(*)

Если оба предела в правой части(*) существуют, то интеграл называется сходящимся. Если хотя бы один из указанных пределов не существует, то интеграл называется расходящимся.

Следовательно, данный интеграл – сходящийся.

Замечание. Равенство (*) можно использовать для каждой отдельной точки разрыва, принадлежащей интервалу (A,B).


 
Яндекс.Метрика
Наверх