Метод хорд и касательных
Обозначим через левую часть уравнения, т. е. . Установим промежутки, внутри которых находится один и только один корень уравнения. Так как , то, следовательно, функция возрастает на всей числовой оси, и график функции может пересекать ось ОХ не более чем в одной точке. Так как F(1)=-1, а F(2)=10,то искомый корень заключен в интервале (1,2).
Используем для этого Метод хорд.
Рассмотрим более быстрый способ нахождения корня на интервале [a, b], в предположении, что f(a)f(b)<0.
Уравнение хорды:
В точке x=x1, y=0, в результате получим первое приближение корня
Проверяем условия:
1. f(x1)f(b)<0,
2. f(x1)f(a)<0.
Если выполняется условие (1), то в формуле точку A заменяем на x1, получим:
Продолжая этот процесс, получим для n-го приближения:
Пусть f(xi)f(a)<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x1. Здесь выполняется f(x1)f(a)<0. Затем вводим b1=x1 (в формуле точку B заменяем на x1), получим:
Продолжая процесс, придем к формуле:
Останов процесса: |xn – xn-1|< ε, ξ = xn.
Находим первую производную: dF/dx = 3•x2+4
Находим вторую производную: d2F/dx2 = 6•x
Уточним интервалы, в которых будут находиться корни уравнения. Для этого исходный интервал [1;2] разобьем на 10 подынтервалов.
H1 = 1 + 1*(2-1)/10 = 1.1
H2 = 1 + (1+1)*(2-1)/10 = 1.2
Поскольку F(1.1)*F(1.2)<0, то корень лежит в пределах [1.1;1.2].
Вычисляем значения функций в точке a = 1.1
F(1.1) = -0.269
F ''(1.1) = 6.6
Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = 1.2
Остальные расчеты сведем в таблицу.
N |
X |
F(x) |
H = F(x)*(b-x)/(f(b)-f(x)) |
1 |
1.1 |
-0.269 |
-0.03375 |
2 |
1.1338 |
-0.00768 |
-0.00095 |
Ответ: x = 1.13
Используем для этого Метод Ньютона.
Пусть корень ξ уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a, b]. Предположим мы нашли (n-1)-ое приближение корня xn-1. Тогда n-ое приближение xn мы можем получить следующим образом. Положим:
Xn = xn-1 + hn-1
Раскладывая в ряд f(x=ξ) в точке xn-1, получим:
F(xn) = f(xn-1+hn-1) = f(xn-1) + f’(xn-1)hn-1=0
Отсюда следует:
Подставим hn-1 в формулу, получим:
Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой.
Находим первую производную: dF/dx = 3•x2+4
Находим вторую производную: d2F/dx2 = 6•x
Уточним интервалы, в которых будут находиться корни уравнения. Для этого исходный интервал [1;2] разобьем на 10 подынтервалов.
H1 = 1 + 1*(2-1)/10 = 1.1
H2 = 1 + (1+1)*(2-1)/10 = 1.2
Поскольку F(1.1)*F(1.2)<0, то корень лежит в пределах [1.1;1.2].
Вычисляем значения функций в точке a = 1.1.
F(1.1) = -0.269
F ''(1.1) = 6.6
Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = 1.2
Остальные расчеты сведем в таблицу.
N |
X |
F(x) |
DF(x) |
H = f(x) / f '(x) |
1 |
1.2 |
0.528 |
8.32 |
0.06346 |
2 |
1.1365 |
0.01424 |
7.8752 |
0.00181 |
Ответ: x = 1.13
< Предыдущая | Следующая > |
---|