Математическая статистика 02

1.  При изучении структуры коммерческих банков по объявленному уставному фонду из трех тысяч банков страны было отобрано по схеме собственно случайной бесповторной выборки сто. Данные о распределении банков по этому признаку представлены в таблице:

Найти:

А) вероятность того, что средний размер уставного фонда всех коммерческих банков отличается от среднего размера его в выборке не более чем на пять миллионов рублей (по абсолютной величине);

Б) объем бесповторной выборки, при котором то же отклонение среднего размера уставного фонда всех банков (не более пяти миллионов рублей см. пункт а)), можно гарантировать с вероятностью 0,95.

Решение:

а) Найдем средний размер уставного фонда по формуле средней взвешенной:

Тыс. руб.

Среднеквадратическое отклонение процента снижения затрат:

Вероятность того, что средний размер уставного фонда всех коммерческих банков отличается от среднего размера его в выборке не более чем на пять миллионов рублей:

.

В) объем бесповторной выборки, при котором то же отклонение среднего размера уставного фонда всех банков (не более пяти миллионов рублей см. пункт а)), можно гарантировать с вероятностью 0,95:

.

Для вероятности 0,95 . Тогда

.

2. По данным предыдущей задачи необходимо:

А) выдвинуть гипотезу о виде модели, аппроксимирующей эмпирическое распределение, обосновав выбор;

Б) используя χ2 - критерий Пирсона, при уровне значимости a=0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – размер уставного фонда распределена по нормальному закону.

Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение:

Составим вспомогательные таблицы для расчета теоретических частот:

Сравним эмпирические и теоретические частоты:

По таблице критических точек распределения χ2 для уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы . Рассчитанное значение меньше табличного, следовательно, с вероятностью 95% можно утверждать, что случайная величина Х – размер уставного фонда – распределена по нормальному закону.

Гистограмма эмпирического распределения и соответствующая нормальная кривая:

3.  С целью размещения рекламы опрошено 400 телезрителей, из которых данную передачу смотрят 150 человек. С доверительной вероятностью 0,95 найти долю телезрителей, охваченных рекламой в лучшем случае. Случайны ли результаты опроса, если согласно статистике доля телезрителей, охваченных рекламой составляет 0,41 при уровне значимости a=0,05?

Решение:

Для вероятности 0,95 коэффициент доверия равен 1,96. Тогда

Точность оценки: .

Тогда в лучшем случае рекламу смотрят 0,375+0,024=0,399 или 39,9% телезрителей.

Проверим гипотезу о равенстве доли телезрителей 0,41 при конкурирующей гипотезе .

.

.

, тогда нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, то есть результаты опроса не случайны.

4.  Распределение пятидесяти предприятий по размерам основных производственных фондов Х (миллионов рублей) и выпуску продукции У (миллионов рублей) дано в таблице:

Необходимо:

А) вычислить групповые средние и построить эмпирические линии регрессии;

Б) предполагая, что между переменными Х и У существует линейная корреляционная зависимость:

- найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию получившихся уравнений;

- вычислить коэффициент корреляции, на уровне значимости =0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и У;

- в случае отклонения гипотезы об отсутствии корреляционной зависимости объема выпуска продукции от размера основных производственных фондов оценить меру влияния размера основных производственных фондов на объем выпуска продукции (использовать коэффициент детерминации и корреляционное отношение);

-используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний выпуск продукции предприятий, основные фонды которых составляют 81 млн руб..

Решение:

1.

Эмпирическая линия регрессии У на Х:

Эмпирическая линия регрессии Х на У:

Составим расчетную таблицу (в нижней строке указаны произведения ):

Найдем выборочные средние:

Выборочные дисперсии:

Регрессия у на х:

Регрессия х на у:

При увеличении основных производственных фондов на 1 млн руб. выпуск продукции увеличивается на 0,151 млн руб.

При увеличении выпуска продукции на 1 млн руб. стоимость основных производственных фондов увеличивается на 3.981 млн руб.

Б) вычислить коэффициент корреляции:

Оценим его значимость на уровне значимости α = 0,05:

.

По таблице критерия Стьюдента для уровня значимости 0,05 и 100-2=98 степеней свободы . Табличное значение меньше рассчитанного, значит, коэффициент корреляции значимо отличается от нуля. Связь тесная и прямая.

Используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний выпуск продукции предприятий, основные фонды которых составляют 81 млн руб млн. руб.

< Предыдущая		Следующая >