Квадратичные формы. приведение квадратичных форм к каноническому виду. критерий сильвестра
Задание 1. Составить матрицу квадратичной формы .
Решение. В общем виде квадратичная форма аргументов и задаётся следующим образом:
,
Где являются элементами матрицы квадратичной формы. Сравнивая заданную квадратичную форму с общим её видом, получим, что , , , , , , т. е. .
Ответ: .
Задание 2. Восстановить квадратичную форму по заданной матрице . Каждая ли из заданных матриц может соответствовать некоторой квадратичной форме? Почему?
А) ; б) .
Решение. Матрица квадратичной формы должна быть симметрической, т. е. .
а) Матрица не может быть матрицей квадратичной формы, так как , т. е. она не является симметрической.
Б) Матрице соответствует некоторая квадратичная форма, так как она является симметрической. Очевидно, , , , , , . Следовательно, квадратичная форма примет вид
.
Ответ: .
Задание 3. Задана квадратичная форма . Найти квадратичную форму , полученную из данной линейным преобразованием: , .
Решение. При невырожденном линейном преобразовании матрица квадратичной формы преобразуется в матрицу .
Выпишем матрицу заданной квадратичной формы: . Матрица заданного линейного преобразования , тогда . Следовательно,
,
т. е. .
Можно сделать проверку полученного результата непосредственной подстановкой в заданную квадратичную форму формулы преобразования координат:
.
Ответ: .
Задание 4. Привести к каноническому виду квадратичную форму .
Решение. Выпишем матрицу квадратичной формы: . Диагонализация матрицы квадратичной формы происходит в ОНБ из собственных векторов. Если – матрица перехода к такому базису, то координаты вектора в разных базисах связаны между собой соотношением:
,
Где в столбцах матрицы находятся координаты векторов ОНБ из собственных векторов, соответствующих собственным значениям.
Составим характеристическое уравнение:
,
Значит, собственные значения , , .
Найдём собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям.
При : , откуда получаем однородную систему уравнений тогда .
При : , т. е. тогда .
При : , откуда получаем однородную систему уравнений
Из системы следует, что – свободная переменная. Примем , тогда
.
Векторы , , попарно ортогональны (в этом легко убедиться непосредственно!), тогда ОНБ составят векторы
, , .
Матрица перехода от ОНБ к ОНБ примет вид:
.
Замечание. О том чтобы матрица оказалась симметрической, следует помнить при построении собственных векторов , И .
Формулы перехода от координат к координатам :
, , .
Канонический вид заданной квадратичной формы:
.
Подстановкой приведенных формул преобразования координат в заданную квадратичную форму можно убедиться в правильности проведенных вычислений.
Ответ: .
Задание 5. Установить знакоопределённость квадратичной формы .
Решение.
Метод 1. Если все собственные значения , то квадратичная форма положительно определённая; если все – отрицательно определённая. Найдём собственные значения квадратичной формы. Для этого составим её матрицу:
И характеристическое уравнение:
Его корни , , т. е. все , а следовательно, квадратичная форма положительно определённая.
Метод 2. Знакоопределённость квадратичной формы можно установить и с помощью критерия Сильвестра, в соответствии с которым квадратичная форма положительно определённая, если все главные диагональные миноры матрицы положительны, т. е. , , …, , а если знаки этих миноров чередуются, т. е. , , , …, то квадратичная форма – отрицательно определённая.
Для данной квадратичной формы имеем:
, , , т. е. заданная квадратичная форма положительно определённая.
Ответ: квадратичная форма положительно определённая.
< Предыдущая | Следующая > |
---|