Квадратичные формы. приведение квадратичных форм к каноническому виду. критерий сильвестра

Задание 1. Составить матрицу квадратичной формы .

Решение. В общем виде квадратичная форма аргументов и задаётся следующим образом:

Где являются элементами матрицы квадратичной формы. Сравнивая заданную квадратичную форму с общим её видом, получим, что , , , , , , т. е. .

Ответ: .

Задание 2. Восстановить квадратичную форму по заданной матрице . Каждая ли из заданных матриц может соответствовать некоторой квадратичной форме? Почему?

А) ; б) .

Решение. Матрица квадратичной формы должна быть симметрической, т. е. .

а) Матрица не может быть матрицей квадратичной формы, так как , т. е. она не является симметрической.

Б) Матрице соответствует некоторая квадратичная форма, так как она является симметрической. Очевидно, , , , , , . Следовательно, квадратичная форма примет вид

Ответ: .

Задание 3. Задана квадратичная форма . Найти квадратичную форму , полученную из данной линейным преобразованием: , .

Решение. При невырожденном линейном преобразовании матрица квадратичной формы преобразуется в матрицу .

Выпишем матрицу заданной квадратичной формы: . Матрица заданного линейного преобразования , тогда . Следовательно,

т. е. .

Можно сделать проверку полученного результата непосредственной подстановкой в заданную квадратичную форму формулы преобразования координат:

Ответ: .

Задание 4. Привести к каноническому виду квадратичную форму .

Решение. Выпишем матрицу квадратичной формы: . Диагонализация матрицы квадратичной формы происходит в ОНБ из собственных векторов. Если – матрица перехода к такому базису, то координаты вектора в разных базисах связаны между собой соотношением:

Где в столбцах матрицы находятся координаты векторов ОНБ из собственных векторов, соответствующих собственным значениям.

Составим характеристическое уравнение:

Значит, собственные значения , , .

Найдём собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям.

При : , откуда получаем однородную систему уравнений тогда .

При : , т. е. тогда .

При : , откуда получаем однородную систему уравнений

Из системы следует, что – свободная переменная. Примем , тогда

Векторы , , попарно ортогональны (в этом легко убедиться непосредственно!), тогда ОНБ составят векторы

, , .

Матрица перехода от ОНБ к ОНБ примет вид:

Замечание. О том чтобы матрица оказалась симметрической, следует помнить при построении собственных векторов , И .

Формулы перехода от координат к координатам :

, , .

Канонический вид заданной квадратичной формы:

Подстановкой приведенных формул преобразования координат в заданную квадратичную форму можно убедиться в правильности проведенных вычислений.

Ответ: .

Задание 5. Установить знакоопределённость квадратичной формы .

Решение.

Метод 1. Если все собственные значения , то квадратичная форма положительно определённая; если все – отрицательно определённая. Найдём собственные значения квадратичной формы. Для этого составим её матрицу:

И характеристическое уравнение:

Его корни , , т. е. все , а следовательно, квадратичная форма положительно определённая.

Метод 2. Знакоопределённость квадратичной формы можно установить и с помощью критерия Сильвестра, в соответствии с которым квадратичная форма положительно определённая, если все главные диагональные миноры матрицы положительны, т. е. , , …, , а если знаки этих миноров чередуются, т. е. , , , …, то квадратичная форма – отрицательно определённая.