Квадратичные формы. приведение квадратичных форм к каноническому виду. критерий сильвестра |
![]() |
![]() |
![]() |
Задание 1. Составить матрицу квадратичной формы Решение. В общем виде квадратичная форма аргументов
Где Ответ: Задание 2. Восстановить квадратичную форму по заданной матрице А) Решение. Матрица квадратичной формы должна быть симметрической, т. е. а) Матрица Б) Матрице
Ответ: Задание 3. Задана квадратичная форма Решение. При невырожденном линейном преобразовании Выпишем матрицу заданной квадратичной формы:
т. е. Можно сделать проверку полученного результата непосредственной подстановкой в заданную квадратичную форму формулы преобразования координат:
Ответ: Задание 4. Привести к каноническому виду квадратичную форму Решение. Выпишем матрицу
Где в столбцах матрицы Составим характеристическое уравнение:
Значит, собственные значения Найдём собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям. При При При Из системы следует, что
Векторы
Матрица
Замечание. О том чтобы матрица Формулы перехода от координат
Канонический вид заданной квадратичной формы:
Подстановкой приведенных формул преобразования координат в заданную квадратичную форму можно убедиться в правильности проведенных вычислений. Ответ: Задание 5. Установить знакоопределённость квадратичной формы Решение. Метод 1. Если все собственные значения И характеристическое уравнение: Его корни Метод 2. Знакоопределённость квадратичной формы можно установить и с помощью критерия Сильвестра, в соответствии с которым квадратичная форма положительно определённая, если все главные диагональные миноры матрицы Для данной квадратичной формы имеем:
Ответ: квадратичная форма положительно определённая.
|