Контрольная работа по мат. анализу 06

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Контрольная работа 1

1. Даны координаты вершин пирамиды. Найти: 1) длину рёбер А1А2 и А1А3; 2) Угол между рёбрами А1А2 и А1А3; 3) Площадь грани А1А2А3; 4) Объём пирамиды; 5) Уравнение прямой А1А2; 6) Уравнение плоскости А1А2А3; 7) Угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 8) Уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Координаты вершин: А1(5;1;0), А2 (0;1;2), А3(3;0;1), А4(2;2;2).

Решение

Координаты векторов:

Координаты векторов находим по формуле: X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi

Здесь X, Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj; Для вектора A1A2 : X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1

X = 0-5; Y = 1-1; Z = 2-0

A1A2(-5;0;2)

A1A3(-2;-1;1)

1) Длина рёбер А1А2 и А1А3;

Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

2) Угол между рёбрами А1А2 и А1А3;

Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:

, где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2

Найдем угол между ребрами A1A2 и A1A3

, γ = arccos(0.91) = 24.50

3) Площадь грани А1А2А3;

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:

Векторное произведение:

i(0•1-(-1)•2)-j((-5)•1-(-2)•2)+k((-5)•(-1)-(-2)•0)=2i+j+5k

4) Объём пирамиды;

Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:

Находим Определитель матрицы

∆ = (-5) • ((-1) • 2-1 • 1)-(-2) • (0 • 2-1 • 2)+(-3) • (0 • 1-(-1) • 2) = 5

5) Уравнение прямой А1А2;

Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой A1A2

6) Уравнение плоскости А1А2А3;

Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

Уравнение плоскости A1A2A3

(x-5)(0 • 1-(-1) • 2) - (y-1)((-5) • 1-(-2) • 2) + (z-0)((-5) • (-1)-(-2) • 0) = 2x+y+5z-11=0

2x + y + 5z-11 = 0

7) Угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;

Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле

8) Уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.

Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:

2. Линия задана уравнением В полярной системе координат

1. построить линию по точкам, начиная от До И придавая значения через промежуток ;

2. найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью;

3. по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Решение

1) Построим линию по точкам, начиная от До и придавая Значения через промежуток

	0
R	1	4,26	-2,41	-1,18	-1	-1,18	-2,41	4,26	1	0,57	0,41	0,35

R	0,33	0,35	0,41	0,57	1

2) Построим уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.

3) Найдём уравнение данной линии в декартовой системе координат:

Используем формулы перехода от полярной системы координат к декартовой:

Тогда

По уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определяем, что это линия - гипербола.

Элементы линейной алгебры

Контрольная работа 2

I. Даны две матрицы А и В. Найти (2АТ-3В)*(А+2ВТ)

Решение

, ,

II. Определить собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка.

Решение

Исходная матрица имеет вид:

Составляем систему для определения координат собственных векторов:

(5 - λ)x1-2x2 + 2x3 = 0

0x1 + (5 - λ)x2 + 0x3 = 0

0x1 + 2x2 + (3 - λ)x3 = 0

Составляем характеристическое уравнение и решаем его.

Для этого находим определитель матрицы и приравниваем полученное выражение к нулю.

(5 - λ) • ((5 - λ) • (3 - λ)-2 • 0)-0 • (-2 • (3 - λ)-2 • 2)+0 • (-2 • 0-(5 - λ) • 2) = 0

После преобразований, получаем: - λ3 + 13λ2 - 55λ + 75 = 0

Один из корней уравнения равен λ1 = 3

Тогда характеристическое уравнение можно записать как

(λ -3)( - λ2 + 10λ - 25)=0.

- λ2 +10 λ - 25 = 0

D = 102 - 4 • (-1) • (-25) = 0

Получили собственные числа: λ1 = 3,

Найдём собственный вектор для λ1.

Составляем систему для определения координат собственных векторов:

Подставляя λ = 3 в систему, имеем:

Пусть x1 - свободное неизвестное, тогда выразим через него все остальные x1.

Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ1= 3 , имеет вид: , где x1 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x1 = 1: .

Рассуждая аналогично, находим собственный вектор, отвечающий собственным числам:

. Следовательно, - любое,

Множество собственных векторов, отвечающих собственным числам , имеет вид: . При x1 = 1 и x3 = 0: , при x1 = 0 и x3 = 1: .

Ответ: Собственные числа: λ1=3, , собственные векторы: , , .

III. Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) Найти все корни уравнения w3+z=0

Решение

1) - алгебраическая форма

Тригонометрическая форма:

- тригонометрическая форма

2) Найдем корни уравнения w3 =0,

Применим формулу извлечения корней из комплексного числа:

, к=0,1,…,n-1

Так как a=, то

Дифференциальное исчисление

Контрольная работа 3

I. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение

Использовали эквивалентности бесконечно малых величин при :

II. Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертёж

Решение

Построим график заданной функции:

Функция определена на всём множестве чисел и неэлементарная.

Каждая из составляющих функций непрерывна на своём промежутке; заданная функция может иметь точки разрыва только в точках смены аналитических выражений, то есть в точках и .