Контрольная работа по мат. анализу 05
Контрольная работа
Задача 1
Найти общее решение дифференциального уравнения и выделить частное решение, удовлетворяющее начальному условию.
Решение
Перепишем данное уравнение так: Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где U и V две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим
или
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве V одно из частных решений уравнения
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Интегрируя, находим
Подставим найденную функцию V во второе уравнение . Получим .
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию И:
Возвращаясь к функции У, получим
Используя начальное условие находим С: .
Тогда окончательно:
Ответ:
Задача 2
Найти общее решение дифференциального уравнения и выделить частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.
Решение
Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда .
Отсюда - уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем: , .
Обратная подстановка , получим , тогда
Используем начальное условие .
Получим . Тогда
,
Используем начальное условие .
Окончательно:
Ответ:
Задача №3
Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям ().
Решение
Решим соответствующее однородное уравнение . Его характеристическое уравнение имеет корни следовательно, решение однородного уравнения .
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде . Далее имеем ,
Подставляя в исходное уравнение, получим:
Тогда частное решение будет иметь вид
Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид .
Постоянные и находим из начальных условий:
Тогда окончательно .
Ответ:
Задача №4
Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.
Решение
Рассмотрим характеристическое уравнение:
;
Подставим найденные значения корней характеристического уравнения в систему линейных алгебраических уравнений относительно , .
Для имеем
;
(второе уравнение есть следствие первого). Возьмем, например, ; тогда . Полагая , найдем ; . Итак, для получим ; .
Для Имеем
;
(второе уравнение есть следствие первого). Возьмем, например, ; тогда . Полагая , найдем ; . Итак, для получим ; .
Фундаментальная система решений:
Для : ; .
Для : ; .
Следовательно, общее решение системы имеет вид
; .
Ответ: ; .
Задача №5
Решить уравнение колебаний струны методом Фурье.
: :
Решение
Решение дифференциального уравнения свободных колебаний струны имеет вид: , где
, .
Находим
.
Интеграл берем по частям; , , откуда , ; следовательно;
.
Итак,
Окончательно, получим . Далее, находим
Окончательно получим .Таким образом, искомая функция имеет вид:
Ответ:
Задача №6
Ящик содержит 10 деталей, среди которых 3 стандартных. Найти вероятность того, что из наудачу отобранных 5 деталей окажется не более одной стандартной.
Решение
Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 5 деталей из 10 .
Число благоприятствующих исходов равно числу возможных вариантов извлечения либо 5 нестандартных деталей либо 1й стандартной и 4х нестандартных, то есть
По формуле классического определения вероятности:
Ответ:
Задача №7
Вероятность появления события А при одном испытании равна 0,1. Найти вероятность того, что при трех независимых испытаниях оно появится: 1) не менее двух раз; 2) хотя бы один раз.
Используем формулу Бернулли:
В нашем случае p=0.1, q=1-0.1=0.9. n=3. Тогда:
1) P(k≥2)=P(2,3)+P(3,3)
Имеем P(k≥2)=0,027+0,001=0,028
2) Искомую вероятность будем искать используя вероятность противоположного события. Найдём вероятность того, что из 3х испытаний событие А не появится ни в одном случае.
Имеем:
Тогда, вероятность того, что при трех независимых испытаниях событие А появится хотя бы один раз P=1-0.9³=1-0,729=0,271
Задача №8
Чему равна вероятность того, что среди 100 случайных прохожих окажутся 32 женщин (предполагая, что число мужчин и женщин в городе одинаково)?
Воспользуемся локальной теоремой Лапласа:
В нашем случае p=q=0.5. n=100, k=32. Тогда
;
Ответ:
Задача №9
Заданы математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение нормально распределенной случайной величины . Найти: 1) Вероятность того, что примет значения, принадлежащие интервалу ; 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше .
=9, =4, =15, =15, =18
Решение
1) найдём вероятность того, что X примет значение из интервала (α;β) ;
P(α<X<β)=Ф- Ф
P(15<X<15)=Ф- Ф=Ф(1,5) – Ф(1.5)=0
2) найдём вероятность того, что X отклонится (по модулю) от А не более, чем на δ ;
Воспользуемся формулой : P(|X-a|<δ)=2Ф(δ/σ)
В нашем случае : P(|X-9|<18)=2Ф(18/4)=2Ф(4,5)=2×0.4999=0.9998
Задача №10
Случайная величина задана функцией распределения . Найти плотность распределения вероятностей , математическое ожидание , дисперсию , вероятность .
Решение
Дифференциальную функцию F(x), Получаем дифференцируя функцию F(x):
Математическое ожидание случайной величины X:
Дисперсия случайной величины X:
Определим вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (0; 0,5).
P(X1 £ X < X2) = F(X2) - F(X1) = F(0,5) - F(0) = – 0 = 1/5
P(0£ X < 0,5)=0,2
Задача №11
Найти доверительные интервалы, для оценки математического ожидания нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю , объем выборки и среднее квадратичное отклонение .
=75,15, =8, =64
Решение
Требуется найти доверительный интервал (*)
Все величины, кроме T, известны. Найдем T из соотношения . По таблице находим T=1,96. Подставим в неравенство T=1,96, =75,15, =8, П=64 в (*).
Окончательно получим искомый доверительный интервал
Ответ:
Задача №12
Найти выборочное уравнение прямой Регрессии на по данной корреляционной таблице.
|
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 | |
25 |
3 |
4 |
- |
- |
- |
- |
7 |
35 |
- |
6 |
3 |
- |
- |
- |
9 |
45 |
- |
- |
6 |
35 |
2 |
- |
43 |
55 |
- |
- |
12 |
8 |
6 |
- |
26 |
65 |
- |
- |
- |
4 |
7 |
4 |
15 |
3 |
10 |
21 |
47 |
15 |
4 |
Решение
Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:
Найдем необходимые числовые характеристики:
Выборочные средние:
(25(3 +4)+35(6+3)+45(6 + 35 + 2) + 55(12 + 8 + 6) + 65(4 + 7 + 4))/100 = 48.3
(15(3)+20(4+6)+25(3+6+12)+30(35+ 8 + 4) + 35(2 + 6 +7) + 40(4))/100=28.65
Дисперсии:
σ2x=(252(3+4)+352(6+3)+452(6+35+2)+552(12+8+6)+652(4+7+4))/100- 48.32=112.11
σ2y=(152(3)+202(4+6)+252(3+6+12)+302(35+8+4)+352(2+6+7)+402(4))/100-28.652=27.93
Откуда получаем среднеквадратические отклонения: σx = 10.59 и σy = 5.28
И ковариация:
Cov(x, y) = (25•15•3+25•20•4 + 35•20•6 + 35•25•3 + 45•25•6 + 55•25•12 + 45•30•35 + 55•30•8 + 65•30•4 + 45•35•2+55•35•6+65•35•7+65•40•4)/100-48.3•28.65 = 40.96
Определим коэффициент корреляции:
Запишем уравнения линий регрессии y(x):
И вычисляя, получаем: yx = 0.37 x + 11.01
Ответ: yx = 0.37 x + 11.01
< Предыдущая | Следующая > |
---|