Контрольная работа по мат. анализу 04

Решить неопределённые интегралы:

1.

2. 3.

4.

5.

Разложим подынтегральное выражение на простые дроби:

Тогда

6.

7.

8.

Разложим подынтегральное выражение на простые дроби:

Получим

9.

10.

Вычислить площадь области, ограниченной заданными кривыми

Решение

Изобразим данную область на графике:

Так как на данном промежутке графики x=arccos(y) и y = cos(x) совпадают, то по формуле получим

Ответ: (кв. ед)

Вычислить длину дуги кривой

Решение

По формуле . В нашем случае

Тогда

Ответ:

Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

Решение

Изобразим данное тело

Решение

- однополостной гиперболоид.

При пересечении его плоскостями Z = H в сечении получаем эллипсы с полуосями.

Как известно, площадь эллипса

В нашем случае ,

куб. ед.

Ответ: куб. ед.

Криволинейная трапеция ограничена заданными линиями, вращается вокруг оси ОХ. Вычислить объём полученного тела вращения

Решение

Изобразим данную криволинейную трапецию:

По формуле .

Получим куб. ед.

Ответ: куб. ед.

Решить дифференциальное уравнение

Решение

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: . Интегрируем:

Посчитаем интегралы отдельно:

Тогда: или

Ответ:

Решить задачу Коши ,

Решение

Приведём уравнение к виду

Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

. Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Используем условие , тогда .

Тогда окончательно

Ответ:

Решить уравнение Бернулли

Решение

Приведём уравнение к виду

Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

. Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим . Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Ответ:

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение

Данное уравнение не содержит у, следовательно, делаем замену , .

Получим - линейное дифференциальное уравнение.

Решим его методом Бернулли. Замена где u и v две неизвестные функции. Подставляя в уравнение получим

или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

. Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим . Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции р, получим

Обратная подстановка

Ответ:

< Предыдущая		Следующая >