Контрольная работа по мат. анализу 35
Б)
В)
Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; +¥)
Исследование функции на чётность/нечётность:
- Функция является ни чётной, ни нечётной.
Находим критические точки.
Найдем производную функции
Найдём критические точки, для этого приравняем производную функции к 0:
Критические точки: X = -1, x = 0
Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.
-¥ < x < -1, y¢ > 0, функция возрастает
-1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает
0 < x < ¥, y¢ > 0, функция возрастает
Видно, что точка х = -1 является точкой максимума. Значение функции в этой точке
Найдем вторую производную функции
Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.
- точек перегиба нет.
-¥ < x < 0, y¢¢ < 0, кривая Выпуклая
0 < x < ¥, y¢¢ < 0, кривая выпуклая
Вертикальных асимптот нет. Найдем наклонные асимптоты.
- наклонных асимптот нет.
Построим график функции:
Решение
Б)
В)
Решение
Решение
Изобразим фигуру, площадь которой нужно найти:
Найдём абсцыссы точек пересечения данных линий. Для этого решим систему уравнений:
По формуле . В нашем случае Тогда получим:
Ответ: (кв. ед)
Решение
Б)
Решение
Проверим выполнение необходимого условия сходимости ряда . В нашем случае . Тогда
Следовательно, данный ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие сходи мости ряда.
Решение
1. Найдем частные производные.
2. Решим систему уравнений.
3•x2+9•y = 0
9•x+12•y = 0
Получим:
А) Из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:
Откуда y1 = -27/16; y2 = 0; y3 = -27/16
Данные значения y подставляем в выражение для x. Получаем: x1 = -9/4; x2 = 0; x3 = 9/4
Количество критических точек равно 3.
M1(-9/4;-27/16), M2(0;0), M3(9/4;-27/16)
3. Найдем частные производные второго порядка.
4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0). Вычисляем значения для точки M1(-9/4;-27/16)
AC - B2 = -243 < 0, то глобального экстремума нет.
Вычисляем значения для точки M2(0;0)
AC - B2 = -81 < 0, то глобального экстремума нет.
Вычисляем значения для точки M3(9/4;-27/16)
AC - B2 = 81 > 0 и A > 0 , то в точке M3(9/4;-27/16) имеется минимум z(9/4;-27/16) = -217/128
Вывод: В точке M3(9/4;-27/16) имеется минимум z(9/4;-27/16) = -217/128;
Решение
Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: , . Интегрируем:
Посчитаем интегралы отдельно:
Тогда: или - общее решение данного дифференциального уравнения.
Для определения частного решения используем начальное условие: . Тогда
Ответ:
Решение
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
Корни характеристического уравнения: (комплексные корни):
. Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Для определения коэффициентов С1 и С2 используем начальные условия: . Тогда
Ответ:
< Предыдущая | Следующая > |
---|