Контрольная работа по мат. анализу 31
Варіант 13
1. 
2. 
3. 
4.
5.
6.
7.
8. 
Разложим на простейшие дроби функцию 
9.
10.
1. Обчислити інтеграли:
А) 
В)
Тогда 
2. Оцінити визначений інтеграл
3. Знайти середнє значення функції на заданому відрізку
, 
Как известно, среднее значение функции f(x), заданной на отрезке [a, b] равно: 
. В нашем случае:
4. Обчислити площі фігур обмежених лініями, які задані рівняннями. Зробити рисунок.
А) 
, 
Сделаем чертеж области D на плоскости OXY
- гипербола
- парабола, ветви вниз, центр в т. (0,2)
Найдём абсциссы точек пересечения данных линий, для этого решим систему уравнений:
По формуле 
Тогда
Ответ: 
(кв. ед.).
Б) 
, 
Решение
Сделаем чертеж области D на плоскости OXY
Площадь фигуры, заданной параметрически вычисляется по формуле 
. Тогда, в нашем случае:
(кв. ед.)
Ответ: 
(кв. ед.).
В) 
Решение
Сделаем чертеж области D на плоскости OXY
Полярному углу 
будем придавать значения от 
до 
и вычислять соответствующие значения полярного радиуса 
.
Построим заданную кривую. Полюс полярной системы координат помещаем в центр декартовой прямоугольной системы, а полярная ось совпадает с положительным направлением оси абсцисс. График будет состоять из трёх одинаковых частей. Поэтому при построении рассмотрим только один лепесток
Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции 
и двумя лучами 
вычисляется по формуле 
.
Так как полученная фигура симметричная, то можно вычислить треть ее площади при 
(кв. ед.)
Тогда вся площадь будет равна 
(кв. ед.).
Ответ: 
(кв. ед.).
5. Обчислити довжину дуг кривих, що задані рівняннями.
А) 
, 
Решение
Длину дуги кривой в декартовой системе координат, заключенной между точками 
, можно вычислить по формуле: 
.
Найдем выражение, стоящее под интегралом:
Тогда длина дуги равна
Ответ: 
Б) 
, 
Решение
Заданная кривая представляет собой евольвенту (развёртку) окружности.
Находим производные 
. Длина дуги находится по формуле:
В нашем случае:
Ответ: 
В) 
, 
Решение
Используем формулу 
Тогда получим
Ответ: 
6. Обчислити об’эм тіл обертання. Зробити рисунок.
, 
, 
, 
Решение
Изобразим данную плоскую фигуру:
Используем формулу 
,
Тогда получим
Ответ: 
(куб. ед.)
7. Обчислити невласні інтеграли або довести їх розбіжність
А)
В)
Поскольку в точке х=5, принадлежащей промежутку интегрирования, функция терпит разрыв, то интеграл относится к несобственным интегралам второго рода. Вычислим его
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
