Контрольная работа по мат. анализу 27

А) Так как , то данный ряд сходится Как обобщённый гармонический ряд (р=5/3>1).

Б) ;

Исследуем ряд На абсолютную сходимость. Рассмотри ряд из модулей: - рассходится как обобщённый гармонический ряд (р=1/2<1).

Исследуем данный ряд на условную сходимость. Ряд сходится условно по признаку Лейбница, так как предел общего члена рамен 0 при х стремящемся к бесконечности и члены ряда монотонно убывают

В) .

Найдём интервал сходимости ряда Тогда или .

Ряд сходится на интервале Абсолютно.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

При x=2 и х=4 получим одини тот же ряд . Данный ряд является знакоположительным, исследуем его на сходимость используя интегральный признак Коши. Посчитаем соответствующий несобственный интеграл:

Найденный интеграл расходится, следовательно, расходится и соответствующий ряд .

Имеем интервал абсолютной сходимости ряда: .

Решение

Разложим данную функцию в сумму элементарных дробей

, Тогда

Используя стандартне разложения в ряд Тейлора разложим полученные функции отдельно:

Имеем

Найдём интервал сходимости ряда Тогда или .

Ряд сходится на интервале .

Решение

Найдём частные производные:

Тогда - не верно

Ответ: не удовлетворяет

Решение

1. Найдем частные производные.

2. Решим систему уравнений.

2•x = 0

6•y+12 = 0

Получим:

А) Из первого уравнения выражаем X и подставляем во второе уравнение:

X = 0

6•y+12 = 0

Откуда y = -2

Количество критических точек равно 1.

M1(0;-2)

3. Найдем частные производные второго порядка.

4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0).

Вычисляем значения для точки M1(0;-2)

AC - B2 = 12 > 0 и A > 0 , то в точке M1(0;-2) имеется минимум z(0;-2) = 0

Ответ: В точке M1(0;-2) имеется минимум z(0;-2) = 0;

Решение

А) ;

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: . Интегрируем:

Посчитаем интегралы отдельно:

Тогда: или

Б) ;

Это однородное дифференциальное уравнение. Его вид позволяет сделать замену и свести к уравнению с разделяющимися переменными, получаем ,

Уравнение примет вид ,

Разделяем переменные и интегрируем: . Посчитаем отдельно:

Тогда .

Выполнив обратную замену, находим общий интеграл исходного уравнения – решение, записанное в неявном виде: .

В) ;

Приведём данное уравнение к виду: - это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где U и V две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве V одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию V во второе уравнение . Получим откуда

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию И:

Возвращаясь к функции X, получим

Г)

Данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Оно имеет вид .

Проверим выполнение условия:

-условие выполняется.

Поэтому - дифференциал некоторой функции . Следовательно данное уравнение может быть записано в виде

При этом , .

Интегрируем первое равенство по х, получим , где - неизвестная функция, которую ещё предстоит найти.

Дифференцируем U по у, имеем .

Тогда используя то, что , получим или , тогда , и, следовательно,

Ответ: а) , б) , в)

Г)

Решение

Данное дифференциальное уравнение относится к Линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Составляем Характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 -6 r + 9 = 0

Корни характеристического уравнения:

Корень характеристического уравнения r1 = 3 кратности 2.

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e3x, y2 = xe3x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть: f(x) = 9•x2-39•x+65

Поиск частного решения.

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы

Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).

Здесь P(x) = 9•x2-39•x+65, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 0 + 0i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные:

Y' = B+2•A•x

Y'' = 2•A

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y'' -6y' + 9y = (2•A) -6(B+2•A•x) + 9(Ax2 + Bx + C) = 9•x2-39•x+65 или

-6•B+2•A+9•C-12•A•x+9•B•x+9•A•x2 = 9•x2-39•x+65

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

1: 2A -6B + 9C = 65

X: -12A + 9B = -39

X2: 9A = 9

Решая ее, находим: A = 1;B = -3;C = 5;

Частное решение имеет вид: y* = x2 -3x + 5

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Найдем частное решение при условии: y(0) = -1, y'(0) = 1

Поскольку y(0) = 5+c1, то получаем первое уравнение: 5+c1 = -1

Находим первую производную: y' = -3+2•x+c2•e3•x+3•c1•e3•x+3•c2•x•e3•x

Поскольку y'(0) = -3+c2+3•c1, то получаем второе уравнение:

-3+c2+3•c1 = 1

В итоге получаем систему из двух уравнений:

5+c1 = -1

-3+c2+3•c1 = 1

Т. е.: c1 = -6, c2 = 22

Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Ответ:

Решение

Метод исключения неизвестных.

Продифференцируем по t первое уравнение

Исключая с помощью второго уравнения и с помощью первого уравнения системы, получим

, ,

Таким образом, задача свелась к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение. Характеристическое уравнение имеет корни и . Следовательно, общее решение для х будет .

Подставляя х в первое уравнение, находим общее решение для у

Ответ:

Решение

А) Составим уравнение линии интегрирования – прямой АВ.

Подставляя в уравнение прямой, проходящей через 2 точки координаты точек А и В, получим каноническое уравнение прямой . Приравнивая эти отношения к параметру t переходим к параметрическому виду . Находим дифференциалы .