Контрольная работа по мат. анализу 26

Задание 3.

Вычислить определённые интегралы

1.

Решение:

Разложим выражение под знаком интеграла на множители:

Т. о.

Задание 4.

Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями.

1. ;

Решение

Задание 5.

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольных координатах.

1.

Решение

Длина дуги плоской кривой вычисляется по формуле::

Найдем производную функции

Откуда получаем длину дуги кривой:

Задание 6.

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.

1.

Решение:

Длина дуги плоской кривой, заданной в полярных координатах, вычисляется по формуле:

Найдем производную функции

Откуда получаем длину дуги кривой:

Задание 7.

Исследовать сходимость несобственных интегралов и вычислить.

Решение:

Верхний предел интегрирования равен «бесконечности». Следовательно, необходимо перейти к пределам:

Т. о. несобственный интеграл сходится. И его значение равно .

Задание 8.

Найти области определения данных функций. Сделать чертежи.

1. Z= arcsin Y/ x;

Решение

Исходя из области определения функции arcsin получаем:

Строим прямые у = –х и у = х. Строим указанные области. Их пересечение и дает нам область определения.

Т. о. область определения:

Задание 9.

Найти Для функций:

1.  Z= yLnx

Решение:

Находим частные производные первого порядка:

Находим частные производные второго порядка:

Задание 10.

Исследовать на экстремум следующие функции:

1. Z= X3Y2 (6-X-Y)

Решение

Находим стационарные точки, т. е. точки в которых выполняется условие:

Находим частные производные:

Откуда находим:

Т. о. получили бесконечное множество стационарных точек вида (а,0), (0,b) и точка (3,2). При х = 0 или у = 0 функция принимает значение равное 0.

Вычислим значение выражения в точке М, где

Находим частные производные второго порядка:

Вычисляем их значения в точке М:

Откуда получаем:

Так найденное значение больше нуля, то в указанной точке имеет место экстремум. Тип экстремума определяем по знаку величины А. Т. к. А<0, то в точке М функция достигает максимума.

Задание 11.

Составить уравнения касательной прямой и нормальной плоскости для данных линий в указанных точках:

1. X = T - sin T, y = t - cos T , Z = 4 sin T/2 при T = P /2

Решение:

Составим уравнение касательной плоскости к данной линии, заданной параметрическим уравнениями, воспользовавшись формулой:

Уравнение нормали имеет вид:

Находим:

Находим частные производные и их значение в указанной точке::

Следовательно,

Уравнение касательной имеет вид:

Уравнение нормали: