Контрольная работа по мат. анализу 24
Задание 1.
Найти неопределенные интегралы.
А)
Б)
В)
Г)
Д)
Разложим функция под знаком интеграла на элементарные дроби:
Откуда:
Е)
Задание 2.
Вычислить определенные интегралы.
Задание 3.
Вычислить определённые интегралы
Решение:
Разложим выражение под знаком интеграла на множители:
Т. о.
Задание 4.
Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями.
Решение:
Задание 5.
Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольных координатах.
Решение:
Длина дуги плоской кривой вычисляется по формуле::
Найдем производную функции
Откуда получаем длину дуги кривой:
Задание 6.
Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.
Решение:
Длина дуги плоской кривой, заданной в полярных координатах, вычисляется по формуле:
Найдем производную функции
Откуда получаем длину дуги кривой:
Задание 7.
Исследовать сходимость несобственных интегралов и вычислить.
Решение:
Верхний предел интегрирования равен «бесконечности». Следовательно, необходимо перейти к пределам:
Т. о. несобственный интеграл расходится.
Задание 8.
Найти области определения данных функций. Сделать чертежи.
Решение:
Функция определена при всех переменных х и у, в которых выражения под знаком корня не меньше 0. Т. о.
Т. о. получили множество точек, находящихся внутри а) окружности с центром в точке (0;0) и радиусом 1, включая точки, лежащие на окружности и б) между ветвями гиперболы с центров в точке (0;0).
Выполним чертеж:
Пересечение данных фигур дает нам окружность:
Задание 9.
Найти все смешанные производные 2-го порядка для функций.
Найдем частные производные первого порядка:
Найдем смешанные производные второго порядка:
Задание 10.
Исследовать на экстремум следующие функции:
5. Z= X2+ Xy+ Y2 -2X-Y
Решение:
Находим стационарные точки, т. е. точки в которых выполняется условие:
Находим частные производные:
Откуда находим:
Т. о. получили единственную стационарную точку.
Вычислим значение выражения в полученной точке М, где
Находим частные производные второго порядка:
Вычисляем их значения в точке М:
Откуда получаем:
Так найденное значение больше нуля, то в указанной точке имеет место экстремум. Тип экстремума определяем по знаку величины А. Т. к. А>0, то в точке М функция достигает минимума.
Задание 11.
Составить уравнения касательной прямой и нормальной плоскости для данных линий в указанных точках:
5. X2 + Y2 + Z2 = 9, X2 - Y2 = 3 в точке (2, 1, 2)
Решение:
Уравнение касательной плоскости к линии заданной уравнением имеет вид:
Уравнение нормали определяется формулой:
Находим частные производные для функции:
F(X,Y,Z) = x2 + Y2 + Z2 – 9
F(X,Y,Z) = x2 - Y2 – 3
И их значения в точке М:
F(X,Y,Z) = x2 + Y2 + Z2 – 9
F(X,Y,Z) = x2 - Y2 – 3
Следовательно, искомые уравнения имеют вид:
F(X,Y,Z) = x2 + Y2 + Z2 – 9
F(X,Y,Z) = x2 - Y2 – 3
< Предыдущая | Следующая > |
---|