Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home

Контрольная работа по мат. анализу22

PDF Печать E-mail

1.  Найти общее решение дифференциального уравнения.

А) , б) .

Решение

А) Представим данное уравнение в виде ,

Данное уравнение является однородным:

Þ.

Чтобы решить это уравнение, сделаем подстановку:

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Решим его.

Вернемся к первоначальной переменной: - общий интеграл исходного уравнения.

Б) - Это уравнение имеет вид , т. е. не содержит явно у, следовательно, можно понизить порядок этого уравнения, сделав подстановку: , после этого уравнение примет вид: или

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

Проинтегрируем и решим его

Учитывая, что , получим

- общее решение данного уравнения

Ответ: а) , б)

2.  Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

, , .

Решение

Дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью, следовательно, у он = у оо + у чн

Найдем у оо, для чего решим линейное однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному линейному неоднородному дифференциальному уравнению:

Составим характеристическое уравнение и решим его.Þ Þ

Корни характеристического уравнения мнимые различные, поэтому

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

, тогда

описание: http://content.foto.mail.ru/mail/yuko52/_answers/i-117.jpg

Ах)

Подставляем полученные значения в исходное уравнение и находим а, b:

описание: http://content.foto.mail.ru/mail/yuko52/_answers/i-117.jpg

Тогда общее решение заданного уравнения

При , получим

Окончательно,

Ответ:

3.  Найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения.

Решение

Согласно этому методу, решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений ищется в виде .

Подставим в систему и получим связь между А и В: ,

Характеристическое уравнение:. , ,

Его корни: .

Оба корня характеристического уравнения вещественны и различны: . . .

,

В силу произвольности А1 и А2 можем, например, положить, что А1=А2=1. Тогда ,

Таким образом, фундаментальная матрица

Следовательно, общим решением системы будет следующее семейство функций:

, где и - произвольные постоянные.

Ответ: ,

4.  На тело массы действует сила, пропорциональная времени (коэффициент пропорциональности равен К1). Кроме того, тело испытывает противодействие среды, пропорциональное скорости тела (коэффициент пропорциональности равен К2). Найти закон движения тела.

Решение

Используем второй закон Ньютона: F=ma

В нашем случае:

·  сила, пропорциональная времени F1 = k1t,

·  сила, пропорциональное скорости тела Fc = k2v.

Тогда второй закон Ньютона в проекции на направление движения:

Ma = k1t − k2v.

Учтем, что скорость — производная перемещения по времени, а ускорение — вторая производная перемещения по времени.

Составим дифференциальное уравнение.

, так как , то

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, следовательно, хон = хоо + хчн

Найдем хоо, для чего решим линейное однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному линейному неоднородному дифференциальному уравнению:

Составим характеристическое уравнение и решим его.

Þ Þ

Корни характеристического уравнения действительные различные, поэтому Þ

Будем искать хчн в виде многочлена первой степени с неопределенными коэффициентами, умноженного на tr, если ноль является корнем характеристического уравнения кратности r. и тогда окончательно

Поскольку x чн - решение данного уравнения, то при подстановке xчн в это уравнение вместо у получим тождество. Предварительно найдем и .

;

Подставим , , в данное уравнение:

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях t слева и справа в последнем уравнении, получим систему уравнений относительно А, В:

Таким образом, .

Имеем окончательно, закон движения тела: .

Ответ:

1.  Найти область сходимости степенного ряда .

Решение

Найдём интервал сходимости ряда ,

Тогда или .

Ряд сходится на интервале (;) абсолютно.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

При х= получим ряд Воспользуемся вторым признаком сравнения: , , .

Следовательно и сходятся или расходятся одновременно, а так как ряд расходится (Так как ряд Дирихле расходится при р<1), то ряд расходится.

При x= получим ряд - данный ряд является знакочередующимся, исследуем его на абсолютную сходимость:

- ряд расходится, доказано выше. Исследуем его на условную сходимость. Так как и

Следовательно, ряд сходится условно.

Ответ: Имеем интервал абсолютной сходимости ряда: . При ряд сходится условно.

2.  Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

Решение

Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена

,

Тогда

,

Имеем

Получен знакочередующийся ряд Лейбница, последнее выписанное слагаемое меньше чем 0.001. Отбрасывая это слагаемое, получим приближённое значение интеграла с заданной точностью

Ответ:

3.  Разложить данную функцию в ряд Фурье в интервале .

в интервале

Решение

Вычислим коэффициенты Фурье этой функции

, следовательно

,

,

Ряд Фурье имеет вид:

Ответ:

4.  Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными уравнениями в декартовых координатах, перейдя к полярным координатам, предварительно записывая формулу площади через двукратный интеграл в декартовых координатах с расстановкой пределов .

, , .

Решение

Изобразим фигуру, площадь которой нужно найти:

Разделим исходную область на 2 части прямой х=-a

Тогда по формуле , имеем

Перейдём к полярным координатам

Тогда наши уравнения перепишутся в виде

Тогда по формуле , имеем

Ответ:

5.  Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и его проекции на плоскость XOY.

, , , , , .

Решение

Изобразим данное тело – параболоид по бокам и снизу ограниченный плоскостями

Изобразим проекцию тела на плоскость XOY – квадрат

Объём тела можно найти по формуле

В нашем случае

Получим:

Ответ: (куб. ед.)

6. Даны векторное поле и плоскость , которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду . Требуется вычислить:

1)циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру , являющемуся треугольником, ограничивающим плоскость , непосредственно и по формуле Стокса;

2)поток векторного поля через плоскость , в сторону внешней нормали к ней;

3)поток векторного поля через полную плоскость пирамиды в направлении внешней нормали к ее поверхности, применив теорему Остроградского. Сделать чертеж.

; .

Решение

Изобразим плоскость

1) Циркуляция (непосредственное вычисление)

На контуре АВ: ,

На контуре ВС: .

На контуре : .

Циркуляция (формула Стокса):

2) Поток через основание пирамиды

Спроектируем поверхность на плоскость Оху:

Направляющие косинусы вектора внешней нормали будут такими: .

3) Поток через полную поверхность пирамиды (Формула Остроградского)

По формуле

Получим

Объём пирамиды вычислен по формуле: описание: v = \frac{1}{3} s h, где описание: \ s — Площадь основания и описание: \ h — высота;

 
Яндекс.Метрика
Наверх