Контрольная работа по мат. анализу 14

Контрольная работа № 3.

Пример 1. .

Решение. Используем теорему: интеграл от разности функций равен разности интегралов.

Пример 2. Вычислить .

Решение. Сравним наш интеграл с табличным

У нас , формально интеграл не табличный. Используем теорему о линейной замене переменной:

Если , то .

В интеграле , т. е. А = 2, следовательно

.

Проверим полученный результат дифференцированием

Интеграл взят правильно.

Пример 3. , т. е. .

Решение. Так как , то используем теорему о «замене типа подведение под знак дифференциала»

, где T = G(X)

У нас . Тогда

Пример 4. , т. е. .

Решение. Так как , то то используем теорему о «замене типа подведение под знак дифференциала», . Тогда . Домножим в числителе на 3, при этом надо и знаменатель умножить на 3.

.

Проверим дифференцированием

.

Пример 5. Найти .

Решение. Так как , то используем теорему о «замене типа подведение под знак дифференциала» Argtgx = T, тогда dt = d(arctg(x)) = и earctg x = et

Подставляя в исходный интеграл, имеем = earctg x + C.

Пример 6. Найти .

Решение. Здесь уместна замена t = cos x, т. к. dt = - sin x dx, и sin3x dx = sin2x sinx dx. Поэтому

Пример 7. Найти .

Решение. Используем метод интегрирования по частям

Так как производная от Х равна 1, то возьмем U = x. Используем формулу, приведя схему записи удобную при использовании метода интегрирования по частям.

= - X Cosx + = -X cosx + Sinx + C.

Пример 8. Найти .

Используем метод разложения на простейшие. Знаменатель имеет два различных действительных корня, разложим подинтегральную функцию на простейшие слагаемые

Приравняем числители и учтем, что коэффициенты при одинаковых степенях Х, стоящие слева и справа должны совпадать

Следовательно

Определенный интеграл

1. Определение, свойства и вычисление определенного интеграла

Литература.[1], гл. XI, § 1-5, 6 (пример можно пропустить), упр. 8, 10, 11, 13, 16-21, 23, 24.

Пример. Вычислить .

Так как интеграл от суммы функций равен сумме интегралов, то

2. Геометрические приложения определенного интеграла

Литература. [1], гл. XII, §1, упр. 1, 3, 5-11; §2, упр. 13, 14, 17, 18; §3, упр. 38-41, 43, 47; §4, 5, упр. 20-23, 25, 32; §6, упр. 49, 51, 53, 56.

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение. Построим в системе координат эти линии. Найдем точки пересечения этих линий

Рис.1.

Обозначим эти точки через A и В. Итак, А(1; 5), В(5; 1). Искомая площадь S равна разности площадей фигур, ограниченных линиями, , , (обозначим эту площадь через S1) и линиями , , , (эту площадь обозначим через S2). Таким образом

S = S1 – S2

Площадь S2 может быть вычислена с применением определенного интеграла

Ед2.

Площадь S1 можно, конечно, вычислить как сумму площадей прямоугольного треугольника и прямоугольника, но удобнее все-таки вычислить S1 как интеграл

.

Теперь можно вычислить и искомую площадь

S = S1 – S2 = 12 – 5 ln5

Ответ: S =12 – 5 ln5 Ед2.

Пример 2. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси О фигуры, ограниченной прямой и параболой .

Найдем точки пересечения линий. Для этого решим уравнение . Получим .

Рис. 2.

Объем тела может быть вычислен по формуле , где

, .

.

Ответ: .

Т е м а 3. Функции нескольких переменных

1.  Основные понятия.

2. 

3.  Литература. [1], гл. VШ, § 1 - 4.

4.   

5.  Частные производные.

Литература. [1], гл. VIII, § 5, 6, упр. 1-10.

Пример.

1. Найти область определения функции.

2. Проверить, что

3. Проверить, что

Решение.

1. Под знаком логарифма может стоять только положительное выражение, следовательно

или .

Сделаем чертеж

Рис. 3.

2. При вычислении частной производной по рассматриваем функцию как функцию только от переменной а при дифференцировании по - как функцию только от :

,

,

3. При вычислении второй производной по также рассматриваем функцию как функцию только от переменной а при дифференцировании по - как функцию только от :

,

,

3. Поверхности уровня и линии уровня в скалярном поле. Производная по направлению и градиент

Литература. [1], гл. VIII, § 13, 14, 15, упр. 40-43.

Пример. Для функции в точке А(1;2) найти

1) ;

Производную по направлению .

Решение. Градиент и производная по направлению находятся по формулам:

,

где - единичный вектор направления

Координаты единичного вектора

Значения частных производных по и по находим, рассматривая функцию двух аргументов как функцию, зависящую только от того аргумента, по которому производится дифференцирование

,

.

В точке А(1;2) частные производные принимают значения и, следовательно,

Ответ:

4. Формула Тейлора функции двух переменных. Экстремумы функции нескольких переменных.

Литература. [1], гл. VIII, § 16, 17, 19. упр. 47-49.

При исследовании функции двух переменных на экстремум обратите внимание на следующее:

1.  Точки экстремума всегда лежат внутри области определения, а на границе могут находиться только наибольшие и наименьшие значения (см. функцию одной переменной)

Экстремум может достигаться в тех точках области определения, где и или равны 0 или не существуют.

Пример 1. ,

, .

График функции z – верхняя половинка конуса. В точке (0;0) производные по X и Y Не существуют, но

Рис. 4.

Схема исследования на нахождение наибольших и наименьших значений

1.  Найти внутренние точки области, где может быть экстремум.

2.  Исследовать границы области и найти там точки, где может достигаться наибольшее и наименьшее значения.

3.  Вычислить значение функции во всех найденных в п.1 и 2 точках. Среди них выбрать наибольшее и наименьшее.

Покажем, как это делается.

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной осью ОY, прямой Y=2 и параболой при .

Решение. Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения, могут находиться как внутри области, так и на ее границе. Если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то в этой точке частные производные равны нулю. Решив систему уравнений

Найдем две точки О (0; 0) и М (1; 1), в которых обе частные производные равны нулю. Первая из них принадлежит границе области. Следовательно, если функция Z принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то это может быть только в точке М(1;1). Перейдем к исследованию функции на границе области.

На отрезке ОА имеем , поэтому на этом отрезке

Есть возрастающая функция от одной переменной ; наибольшее и наименьшее значение она принимает на концах отрезка ОА. На отрезке АВ имеем , поэтому на этом отрезке функция

Представляет собой функцию одной переменной ; ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди ее значений в критических точках и на концах отрезка.

Находим производную: Решаем уравнение или и находим Внутри отрезка имеется лишь одна критическая точка соответствующей точкой отрезка АВ является точка Q. Итак, из всех значений функции на отрезке АВ наибольшее и наименьшее находятся среди ее значений в точках А, Q и В.

На дуге ОВ параболы имеем

.

Решаем уравнение или и находим его корни: и . Таким образом, из всех значений функции на дуге ОВ наибольшее и наименьшее находятся среди ее значений в точках О, Р и В.

Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функции в данной замкнутой области находятся среди ее значений в точках О, А, Q, В, Р, М, т. е. среди значений:

Q

Наибольшее и наименьшее из них равны 12 и -1. Они и являются наибольшим и наименьшим значениями данной функции в данной замкнутой области: