Контрольная работа по мат. анализу14 |
![]() |
![]() |
![]() |
Контрольная работа № 3. Пример 1. Решение. Используем теорему: интеграл от разности функций равен разности интегралов. Пример 2. Вычислить Решение. Сравним наш интеграл с табличным У нас Если В интеграле . Проверим полученный результат дифференцированием Интеграл взят правильно. Пример 3. Решение. Так как
У нас Пример 4. Решение. Так как
Проверим дифференцированием
Пример 5. Найти Решение. Так как Подставляя в исходный интеграл, имеем Пример 6. Найти Решение. Здесь уместна замена t = cos x, т. к. dt = - sin x dx, и sin3x dx = sin2x sinx dx. Поэтому Пример 7. Найти Решение. Используем метод интегрирования по частям Так как производная от Х равна 1, то возьмем U = x. Используем формулу, приведя схему записи удобную при использовании метода интегрирования по частям.
Пример 8. Найти Используем метод разложения на простейшие. Знаменатель имеет два различных действительных корня, разложим подинтегральную функцию на простейшие слагаемые Приравняем числители и учтем, что коэффициенты при одинаковых степенях Х, стоящие слева и справа должны совпадать Следовательно Определенный интеграл 1. Определение, свойства и вычисление определенного интеграла Литература.[1], гл. XI, § 1-5, 6 (пример можно пропустить), упр. 8, 10, 11, 13, 16-21, 23, 24. Пример. Вычислить Так как интеграл от суммы функций равен сумме интегралов, то 2. Геометрические приложения определенного интеграла Литература. [1], гл. XII, §1, упр. 1, 3, 5-11; §2, упр. 13, 14, 17, 18; §3, упр. 38-41, 43, 47; §4, 5, упр. 20-23, 25, 32; §6, упр. 49, 51, 53, 56. Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Решение. Построим в системе координат Рис.1. Обозначим эти точки через A и В. Итак, А(1; 5), В(5; 1). Искомая площадь S равна разности площадей фигур, ограниченных линиями S = S1 – S2 Площадь S2 может быть вычислена с применением определенного интеграла
Площадь S1 можно, конечно, вычислить как сумму площадей прямоугольного треугольника и прямоугольника, но удобнее все-таки вычислить S1 как интеграл
Теперь можно вычислить и искомую площадь S = S1 – S2 = 12 – 5 ln5 Ответ: S =12 – 5 ln5 Ед2. Пример 2. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси О Найдем точки пересечения линий. Для этого решим уравнение Рис. 2. Объем тела может быть вычислен по формуле
Ответ: Т е м а 3. Функции нескольких переменных 1. Основные понятия. 2. 3. Литература. [1], гл. VШ, § 1 - 4. 4. 5. Частные производные. Литература. [1], гл. VIII, § 5, 6, упр. 1-10. Пример. 1. Найти область определения функции. 2. Проверить, что 3. Проверить, что Решение. 1. Под знаком логарифма может стоять только положительное выражение, следовательно
Сделаем чертеж Рис. 3. 2. При вычислении частной производной по
3. При вычислении второй производной по
3. Поверхности уровня и линии уровня в скалярном поле. Производная по направлению и градиент Литература. [1], гл. VIII, § 13, 14, 15, упр. 40-43. Пример. Для функции
Производную по направлению Решение. Градиент и производная по направлению находятся по формулам:
Координаты единичного вектора Значения частных производных по
В точке А(1;2) частные производные принимают значения Ответ: 4. Формула Тейлора функции двух переменных. Экстремумы функции нескольких переменных. Литература. [1], гл. VIII, § 16, 17, 19. упр. 47-49. При исследовании функции двух переменных на экстремум обратите внимание на следующее: 1. Точки экстремума всегда лежат внутри области определения, а на границе могут находиться только наибольшие и наименьшие значения (см. функцию одной переменной) Экстремум может достигаться в тех точках области определения, где Пример 1.
График функции z – верхняя половинка конуса. В точке (0;0) производные по X и Y Не существуют, но Рис. 4. Схема исследования на нахождение наибольших и наименьших значений 1. Найти внутренние точки области, где может быть экстремум. 2. Исследовать границы области и найти там точки, где может достигаться наибольшее и наименьшее значения. 3. Вычислить значение функции во всех найденных в п.1 и 2 точках. Среди них выбрать наибольшее и наименьшее. Покажем, как это делается. Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Решение. Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения, могут находиться как внутри области, так и на ее границе. Если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то в этой точке частные производные Найдем две точки О (0; 0) и М (1; 1), в которых обе частные производные равны нулю. Первая из них принадлежит границе области. Следовательно, если функция Z принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то это может быть только в точке М(1;1). Перейдем к исследованию функции на границе области. На отрезке ОА имеем Есть возрастающая функция от одной переменной Представляет собой функцию одной переменной Находим производную: На дуге ОВ параболы
Решаем уравнение Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функции
Наибольшее и наименьшее из них равны 12 и -1. Они и являются наибольшим и наименьшим значениями данной функции в данной замкнутой области:
|