Контрольная работа по мат. анализу11

Задание по математике вариант 11

Задание 1

1.  Вычислить неопределенный интеграл:

А) ; б) ; в)

Решение

А) ;

Б) ;

Разложим подынтегральное выражение на простые дроби:

Тогда

В)

2.  Вычислить определенные интегралы:

А) ; б)

Решение

А) ;

Б)

3.  Найти несобственный интеграл или доказать его расходимость:

Решение

4.  Вычислить площадь фигуры, заданной в параметрическом виде:

,

Решение

Изобразим фигуру, площадь которой нужно найти:

По формуле .

Так как фигура симметрично относительно оси ОУ, то будем искать площадь половины фигуры, расположенную в первом квадранте. Тогда, при

Тогда

Ответ: (кв. ед.)

Задание 2

5. 

Решение

Приведём уравнение к виду:

Данное уравнение является однородным, Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.

Если у=хt, то дифференциал , и данное уравнение примет вид

Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:

Получили

Из введенной подстановки следует, что . Следовательно,

Ответ:

6.  , y(2) = 4

Решение

Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

. Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Ответ:

7.  xy′′′ + 2y′′ = 0

Решение

Данное уравнение не содержит у, следовательно, понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда .

Отсюда - уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяем переменные:

Интегрируя, находим

Возвращаясь к функции у, получим

Ответ:

8.  y”+6y’+13y= e-3xcos5x

Решение

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2+6r+13=0

Корни характеристического уравнения:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть: f(x) = e-3xcos5x

Поиск частного решения.

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы

Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).

Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = -3, β = 5.

Следовательно, число α + βi = -3 + 5i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида: y* = e-3x(Acos(5x) + Bsin(5x))

Вычисляем производные:

Y' = (-5•A•sin(5x)+5•B•cos(5x))•e-3x-3(A•cos(5x)+B•sin(5x))•e-3x

Y'' = (-25•A•cos(5x)-25•B•sin(5x))•e-3x-6(-5•A•sin(5x)+5•B•cos(5x))•e-3x +9(A•cos(5x)+B•sin(5x))•e-3x

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

((-25•A•cos(5x)-25•B•sin(5x))•e-3x-6(-5•A•sin(5x)+5•B•cos(5x))•e-3x +9(A•cos(5x)+B•sin(5x))•e-3x)+6((-5•A•sin(5x)+5•B•cos(5x))•e-3x-3(A•cos(5x)+B•sin(5x))•e-3x) +13(e-3x(Acos(5x) + Bsin(5x))) = e-3•x•cos(5•x)

или -21•B•e-3x•sin(5x)-21•A•cos(5x)•e-3x = e-3•x•cos(5•x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

0A -21B = 0

-21A = 1

Решая ее, находим: A = -1/21;B = 0;

Частное решение имеет вид: y* = e-3x(-1/21cos(5x) + 0sin(5x)). Или y*=e-3x(-1/21cos(5x))

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Ответ: