Контрольная работа по мат. анализу11 |
![]() |
![]() |
![]() |
Задание по математике вариант 11 Задание 1 1. Вычислить неопределенный интеграл: А) А) Б) Разложим подынтегральное выражение на простые дроби: Тогда В) 2. Вычислить определенные интегралы: А) А) Б) 3. Найти несобственный интеграл или доказать его расходимость: Решение 4. Вычислить площадь фигуры, заданной в параметрическом виде:
Решение Изобразим фигуру, площадь которой нужно найти: По формуле Так как фигура симметрично относительно оси ОУ, то будем искать площадь половины фигуры, расположенную в первом квадранте. Тогда, при Тогда Ответ: Задание 2 5. Решение Приведём уравнение к виду: Данное уравнение является однородным, Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х. Если у=хt, то дифференциал Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения: Получили Из введенной подстановки следует, что Ответ: 6. Решение Это уравнение вида
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Подставим найденную функцию v во второе уравнение Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и: Возвращаясь к функции у, получим Ответ: 7. xy′′′ + 2y′′ = 0 Решение Данное уравнение не содержит у, следовательно, понизить его порядок можно с помощью подстановки Отсюда Разделяем переменные: Интегрируя, находим Возвращаясь к функции у, получим Ответ: 8. y”+6y’+13y= e-3xcos5x Решение Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2+6r+13=0 Корни характеристического уравнения: Общее решение однородного уравнения имеет вид: Рассмотрим правую часть: f(x) = e-3xcos5x Поиск частного решения. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx)) Где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x). Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = -3, β = 5. Следовательно, число α + βi = -3 + 5i не является корнем характеристического уравнения. Уравнение имеет частное решение вида: y* = e-3x(Acos(5x) + Bsin(5x)) Вычисляем производные: Y' = (-5•A•sin(5x)+5•B•cos(5x))•e-3x-3(A•cos(5x)+B•sin(5x))•e-3x Y'' = (-25•A•cos(5x)-25•B•sin(5x))•e-3x-6(-5•A•sin(5x)+5•B•cos(5x))•e-3x +9(A•cos(5x)+B•sin(5x))•e-3x Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение: ((-25•A•cos(5x)-25•B•sin(5x))•e-3x-6(-5•A•sin(5x)+5•B•cos(5x))•e-3x +9(A•cos(5x)+B•sin(5x))•e-3x)+6((-5•A•sin(5x)+5•B•cos(5x))•e-3x-3(A•cos(5x)+B•sin(5x))•e-3x) +13(e-3x(Acos(5x) + Bsin(5x))) = e-3•x•cos(5•x) или -21•B•e-3x•sin(5x)-21•A•cos(5x)•e-3x = e-3•x•cos(5•x) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений: 0A -21B = 0 -21A = 1 Решая ее, находим: A = -1/21;B = 0; Частное решение имеет вид: y* = e-3x(-1/21cos(5x) + 0sin(5x)). Или y*=e-3x(-1/21cos(5x)) Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: Ответ:
|