Контрольная работа по мат. анализу10

1.  Найти частные производные первого порядка следующих функций:

А) ;

Б) ; в) .

Решение

A)

Б)

В)

2.  Найти дифференциалы первого и второго порядка от функции .

Решение

Воспользуемся следующими соотношениями для дважды дифференцируемых функций:

Таким образом,

Тогда получим

3.  Вычислить определенные интегралы:

А) ; б); в); г).

Решение

А) Б);

В);

Г).

4.  Вычислить или установить расходимость несобственных интегралов:

А) ; б) .

Решение

а) Данный интеграл – несобственный интеграл первого рода

;

Расходится

б) Данный интеграл – несобственный интеграл второго рода

.

5.  Найти площадь области, ограниченной кривыми:

А) ; б) .

Решение

А) Построим линии, ограничивающие фигуру.

– парабола, симметричная относительно оси оу, вершина (0;0).

– парабола, симметричная относительно оси оу, вершина (0;0).

– прямая, проходящая через точку (0;2), параллельная оси очх.

Изобразим фигуру, площадь которой нужно найти:

Данная область состоит из двух симметричных частей. Будем искать площадь фигуры при

По формуле . В нашем случае , , .

Получим кв. ед.

Б)Построим линии, ограничивающие фигуру

- часть окружности

, - часть кардиоиды

Изобразим фигуру, площадь которой нужно найти:

Если функция непрерывна на отрезке , то площадь области вычисляется по формуле : .

В нашем случае: , ,

Получим:

6.  Найти длину дуги кривой

Решение

Изобразим данную дугу

Если дуга кривой задана параметрическими уравнениями , , в которых функции Имеют непрерывные производные, то

.

Найдём: ,

Тогда

Ответ:

7.  Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу Плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение

Построим ограничивающие линии.

- парабола, вершина т. (0,1), ветви вниз

- окружность, центр т. (0,0), радиус R=1;

Изобразим фигуру вращения:

При вращении криволинейной трапеции (рис.11) вокруг оси OY образуется тело вращения.

Т. к. по условию криволинейная трапеция вращается вокруг оси OY, то объём тела вращения вычислим по формуле .

По условию , . При этом , т. е.

Тогда

(ед3.)