Интегралы, дифференциальные уравнения
Вариант 8
1. Найти неопределённые интегралы:
А) б) в) г)
А)
Б) в)
Г)
2. Вычислить определённые интегралы:
А) Б) в) г)
А)
Б) в) г)
3. Найти общие решения дифференциальных уравнений
А) б)
Решение
А)
Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: . Интегрируем:
Посчитаем интегралы отдельно:
Тогда: или
Ответ:
Б)
Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: . Интегрируем:
Посчитаем интегралы отдельно:,
Тогда: или
Ответ:
4. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение
Решение
Перепишем данное уравнение в виде
Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим
или
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
. Интегрируя, находим
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим
Ответ:
5. Найти решение задачи Коши
Решение
Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда .
Отсюда - дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные: . Интегрируя, находим
Возвращаясь к функции у, получим
Найдём значения используя начальные условия
. Тогда
Получили систему уравнений
Тогда, окончательно:
Ответ:
6. Решить уравнение:
Решение
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: . Корни характеристического уравнения:
K1 = 1, k2 = 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = ex , y2 = e2x/
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть: f(x) = xex
Уравнение имеет частное решение вида:
Вычисляем производные:
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
Частное решение имеет вид:
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Ответ:
< Предыдущая | Следующая > |
---|