Интегральное исчисление 06

Билет № 6

1. Вычислить интеграл

2. Найти

Имеет место формула:

Найдем производные х и у по t:

Тогда

3. Вычислить предел по правилу Лопиталя .

Решение:

4. Найти интервалы возрастания функции .

Решение:

Область определения вся числовая прямая.

Найдем критические точки:

Итак, данные точки разбивают область определения на 3 промежутка: . Определим знак производной на каждом из них:

Итак, производная положительна при , на данных промежутках функция возрастает; производная отрицательна при , на данном промежутке функция убывает.

5. При каком значении параметра А кривая пересекает ось ОХ под углом ?

Решение:

Найдем точки, в которых кривая пересекает ось ОХ:

Кривая пересекает ось ОХ под углом в некоторой точке , если в этой точке значение производной данной функции равно .

Вычислим производную и приравняем ее к 1:

Пусть , тогда .

Ответ: .

6. Разложить функцию по формуле Тейлора до 3-го порядка.

Решение:

Разложение функции в ряд до 3-го порядка по степеням имеет вид:

Вычислим значение функции и ее производных до третьего порядка при :

Итак, выпишем разложение:

8. Найти точку минимума функции .

Решение:

Область определения данной функции: . Прологарифмируем обе части равенства, а затем продифференцируем их по х, считая у функцией от х:

Также производная не существует при х=0. Так как функция при х=0 равна 1; производная при : ; при : , то точка будет точкой минимума.

< Предыдущая		Следующая >