Финансовая математика 02

N = 19

1. 15 мая открыт сберегательный счет в сумму (400+10n) руб. под процентную ставку 8% годовых, 12 июля на счет было дополнительно внесено 200 руб.; 12 сентября со счета была снята сумма 100 руб., а 18 ноября счет был закрыт. Определить общую сумму, полученную вкладчиков при закрытии счета. Использовать английскую практику начисления процентов. Год – невисокосный.

Дано:

Решение:

Т1 = 15.05 P = 400+1019 = 590 руб. I = 8% = 0,08 T2 = 12.07 P2 = 200 руб. Т3 = 12.09 P3 = 100 руб. Т4 = 18.11 K = 365

Для решения задачи воспользуемся следующей формулой: S = P, Где S – наращенная сумма; Р – первоначальная сумма; I – простая процентная ставка; T – срок начисления процентов в днях; К – количество дней в году. 15.05 - 135 день в году; 12.07 - 193 день в году; 12.09. – 255 день в году; 18.11 - 322 день в году. S1 = 590 597,5 руб. S2 = 597,5+200 808,34 руб. 808,34 – 100 = 708,34 руб. S3 = 708,34 718,74 руб.

Ответ: при закрытии счета вкладчик получит 718,74 руб.

2. Долговое обязательство в сумме (2000+100n) руб., должно быть погашено через 90 дней с процентами (10 % годовых). Владелец обязательства учел его в банке за 15 дней до наступления срока по учетной ставке 12%. Найти сумму, полученную после учета векселя.

Дано:	Решение:
Р1 =2000+10019 = 3900 руб. T1 = 90 дней I = 10% = 0,1 T2 = 15 дней D = 12% = 0,12 K = 360 дней	Сначала рассчитаем наращенную сумму долгового обязательства, используя следующую формулу: S = P, Где S – наращенная сумма; Р – первоначальная сумма; I – простая процентная ставка; T – срок начисления процентов в днях; К – количество дней в году. S = 39003997,5 руб. Теперь можем рассчитать сумму, полученную после учета векселя, используя следующую формулу: P = S, Где d - простая учетная ставка P = 3997,53977,51 руб.
P2 - ?

Ответ: сумма, полученная после учета векселя, равна 3977,51 руб.

3. Клиент внес в банк (2000+100n) руб. под 9 % годовых. Через два года и 270 дней он изъял вклад. Определить полученную им сумму при использовании банком сложных процентов и смешенного метода.

Дано:	Решение:
P=2000+10019 = 3900 руб. I = 9% = 0,09 N = 2 года 270 дней К = 360 дней	Если использовались сложные проценты, наращенную сумму определим помощью следующей формулы: S = P, Где S – наращенная сумма; Р – первоначальная сумма; I – простая процентная ставка; N – срок начисления процентов. S = 390039004942,96 руб. По смешенному методу: S = P, Где a – целое число лет; B - дробное число лет. S = 3900 4946,36 руб.
S - ?

Ответ: полученная клиентом сумма равна при использовании банком сложных процентов – 4942,96 руб., смешанного метода – 4946,36 руб.

4. Определить эффективную ставку сложных процентов, чтобы получить такую же наращенную сумму, как и при использовании номинальной ставки j%, при ежеквартальном начислении процентов (m=4; j = (5+n)%).

Дано:	Решение:
J = 5+19 = 24% = 0,24 M = 4	Эффективная процентная ставка определяется по следующей формуле: Iэф = , Где j – номинальная ставка; M – период начисления процентов. Iэф = 0,2625 или 26,25%
Iэф - ?

Ответ: эффективная ставка сложных процентов равна 26,25%

6. Кредит в (2000+100n) руб. выдан на два года. Реальная доходность должна составлять 6% годовых (сложные проценты). Расчетный уровень инфляции – 16% в год. Определить ставку процентов при выдаче кредита, а также наращенную сумму.

Дано:	Решение:
Р = 2000+10019 = 3900 руб. N = 2 года I = 6% = 0,06 = 16% = 0,16	Брутто-ставка по сложной процентной ставке определяется по следующей формуле: R = i + +i, Где i – реальная доходность; - годовой темп инфляции R = 0,06 + 0,16 + 0,060,16 = 0,2296 или 22,96% Наращенную сумму определим по формуле: S = P, Где S – наращенная сумма; Р – первоначальная сумма; I – простая процентная ставка; N – срок начисления процентов. S = 39005896,47 руб.
R-?; S - ?

Ответ: ставка процентов при выдаче кредита равна 22,96%, наращенная сумма – 5896,47 руб.

7. Объединяются три ренты со сроками 7,4,9 лет; члены ренты равны между собой – R = 2000+100n руб.; процентные ставки так же равны - i = 0,08. Член консолидированной ренты установлен в размере 3R руб.; процентная ставка сохраняется. Определить срок новой ренты.

Дано:	Решение:
N1 = 7 лет N2 = 4 года N3 = 9 лет R1 = R2 = R3 = 2000+10019 = 3900 руб. I = 0,08 R0 = 3R = 33900 = 11700 руб.	Срок консолидированной ренты определим по следующей формуле: , Где - современная стоимость k-й заменяемой ренты. А1 = 390020305 руб. А2 = 390012917 руб. А3 = 390024363 руб. Ак = 20305 + 12917 + 24363 = 57585 руб. 6,25 лет
N0 - ?

Ответ: срок новой ренты равен 6,25 лет

8. На модернизацию предприятия получен долгосрочный кредит сроком на 10 лет, погашение которого будет производиться на следующих условиях: в первые пять лет платежи в размере (2000+100n) руб. вносятся каждые полгода под 8% годовых. Следующие три года платежи в размере (4000+100n) руб. вносятся также по полугодиям под 10% годовых. Последние два года платежи в размере (6000+100n) руб. вносятся ежеквартально под 10% годовых. В течение всего срока ренты проценты начисляются раз в году. Определить наращенную сумму и величину кредита.

Дано:	Решение:
N = 10 лет N1 = 5 лет R1 = 2000+10019 = 3900 руб. P1 = 2 I1 = 8% = 0,08 N2 = 3 года R2 = 4000+10019 = 5900 руб. P2 = 2 I2 = 10% = 0,1 N3 = 2 года R3 = 6000+10019 = 7900 руб. P3 = 4 I3 = 10% = 0,1	Наращенная сумма ренты определяется по следующей формуле: S = R, Где S – наращенная сумма; R – размер платежа; I – процентная ставка; N – срок кредита; P – количество платежей в год. S1 = 3900 46900 руб. S2 = 5900 39855 руб. S3 = 7900 69125 руб. Sобщ = 46900+39855+69125 = 155880 руб. Величину кредита определим как современную стоимость каждого потока платежа А1 = 3900 31942 руб. А2 = 5900 29944 руб. А3 = 7900 57128 руб. А = 31942 + 29944 + 57128 = 119014 руб.
S - ?; P - ?

Ответ: наращенная сумма равна 155880 руб., величина кредита – 119014 руб.

9. Предоставлен потребительский кредит в размере (1000+100n) руб. на срок шесть месяцев под 12% годовых с ежемесячными погашением. Составить план погашения кредита. Воспользоваться «правилом 78». Сравните с графиком равномерных выплат процентов.

Дано:	Решение:
P = 1000+10019 = 2900 руб. N = 6 месяцев = 0,5 года I = 12% = 0,12 M = 12	Наращенная сумма долга в конце периода составит: S =P(1+in) S = 2900(1+0,50,12) = 3074 руб. Сумма начисленных процентов: I = 29000,50,12 = 174 руб. Ежемесячные выплаты: Q = 512 руб. Найдем сумму порядковых номеров месяцев: 1+2+3+4+5+6 = 21 Из первого платежа в счет уплаты процентов идет Общей суммы начисленных процентов: 50руб. Сумма, идущая на погашение долга: 512 – 50 = 462 руб. Составим план погашения.

Доля погашаемых процентов	Сумма погашения процентных платежей, руб.	Сумма погашения основного долга, руб.	Остаток основного долга на начало месяца, руб.
6/21	50	462	2438
5/21	41	471	1967
4/21	33	479	1488
3/21	25	487	1001
2/21	17	495	506
1/21	6	506	-
Итого	174	2900	-

График погашения ссуды с погашением основного долга в конце срока и равномерной выплатой процентов (все данные в тыс. руб.)

Месяц	Сумма погашения процентных платежей, руб.	Сумма погашения основного долга, руб.	Остаток основного долга на начало месяца, руб.	Всего выплаты в банк
1	29	0	2900	29
2	29	0	2900	29
3	29	0	2900	29
4	29	0	2900	29
5	29	0	2900	29
6	29	2900	2900	2929
Итого	174	2900	0	3074

10. Получен кредит в сумме 10000n руб. сроком на семь лет. Процентная ставка изменяется по годам в следующем порядке:

Годы	1-2	3-4	5-7
Ставка,%	6	10	12

Составьте план погашения кредита.

Решение:

1-й год

34035,65 руб.

34035,65 - 1900000,06 = 22635,65 руб.

2-й год

D2 = 190000 – 22635,65 = 167364,35 руб.

34035,65 руб.

34035,65 – 167364,350,06 = 23993,79 руб.

3-й год

D3 = 167364,35 – 23993,79 = 143370,56 руб.

37820,79 руб.

37820,79 – 143370,560,1 = 23483,73 руб.

4-й год

D4 = 143370,56 – 23483,73 = 119886,83 руб.

37820,79 руб.

37820,79 – 119886,830,1 = 25832,11руб.

5-й год

D5 = 119886,83 - 25832,11 = 94054,72 руб.

39159,59 руб.

39159,59 – 94054,720,12 =39159,59-11286,57 = 27873,02 руб.

6-й год

D6 = 94054,72 - 27873,02 = 66181,7 руб.

39159,59 руб.

39159,59 – 66181,70,12 =39159,59-7941,8 = 31217,79руб.

7-й год

D7 = 66181,7 – 31217,79 = 34963,91 руб.

39159,59 руб.

39159,59 – 34963,910,12 =39159,59- 4195,67 = 34963,92 руб.

Составим план погашения:

Годы	Процентная ставка, %	Сумма долга на начало года, D	Сумма процентных денег, I	Сумма погашения основного долга, R	Годовая срочная уплата Y
1	6	190000	11400	22635,65	34035,65
2	6	167364,35	10041,86	23993,79	34035,65
3	10	143370,56	14337,06	23483,73	37820,79
4	10	119886,83	11988,68	25832,11	37820,79
5	16	94054,72	11286,57	27873,02	39159,59
6	16	66181,7	7941,8	31217,79	39159,59
7	16	34963,91	4195,67	34963,92	39159,59
Итого	-	-	71191,64	190000	261191,64

11. Ипотечный кредит выдан на 20 лет, размер кредита – (200000+1000n) руб., ставка – 6% годовых. Погашение будет происходить ежемесячно равными срочными уплатами по 1000 руб. Рассчитайте размер «шарового платежа».

Дано:	Решение:
N = 20 лет D = 200000+1000 19 = 219000 руб. I = 6% = 0,06 P = 12 R = 1000 руб.	Размер шарового платежа В найдем по следующей формуле: В = Так как ха год будет выплачено 12000 руб. В = 25368,73 руб.
B - ?

Ответ: размер «шарового платежа» равен 25368,73 руб.

12. Сумма ипотечного долга – 10000019 = 190000 руб. Срок погашения 20 лет (240 месяцев) разбит на два период продолжительностью: 1-й период m=60 месяцев; 2-й период n = 180 месяцев. Процентная ставка – 6% годовых (проценты сложные). Погашение кредита производится ежемесячно. По условиям контракта ежегодный прирост срочных уплат 5% в первом периоде. Во втором периоде погашение производится равными срочными уплатами. Составьте план погашения кредита, используя стандартную программу Excel.

Решение:

Параметры контракта:

D = 190 тыс. руб., N = 240 месяцев; m = 60 месяцев

N = 180 месяцев; i = 0,06.

0,005 (месячная вставка);

V = 0,995

Tемп роста ежемесячных расходов g = 1,051,0041.

Y1 =

= 190: (59,7+111,52)=1,11 тыс. руб.

Ежемесячные расходы в первом периоде:

Yt = Y1GИли Yt = 1,111,0041

Месячный расход в конце первого периода;

Y60 = 1,111,00411,41 тыс. руб.

По условиям кредита эта же сумма выплачивается ежемесячно во втором периоде. Остаток задолженности в любом месяце второго периода рассчитываем по следующей формуле:

,

Где Dk – остаток задолженности в месяце k;

N – число месяцев во втором периоде;

K – номер месяца во тором периоде: k = 1,2,3 (n-1);

D – остаток задолженности в первом месяце второго периода.

Составим план погашения долга

Месяц	Остаток долга на начало месяца D	Процентные платежи, I	Сумма погашения основного долга R	Ежемесячные срочные уплаты Y = I+R
1	190,00000	0,95000	0,16000	1,11000
2	189,84000	0,94920	0,16535	1,11455
3	189,67465	0,94837	0,17075	1,11912
30	183,01412	0,91507	0,33477	1,24984
31	182,67935	0,91340	0,34157	1,25497
32	182,33778	0,91169	0,34842	1,26011
33	181,98936	0,90995	0,35533	1,26528
57	171,42173	0,85711	0,53872	1,39583
58	170,88301	0,85442	0,54714	1,40155
59	170,33587	0,85168	0,55562	1,40730
60	169,78025	0,84890	0,56417	1,41307
61	169,21608	0,84608	0,56699	1,41307
239	2,805	0,01407	1,399	1,41307
240	1,406	0,00707	1,406	1,41307

13. Размер ипотечного кредита D = (100000+1000n) руб. Срок ипотеки – 10 лет Заемщик открывает специальный счет на сумму D/10 руб., на который начисляются ежемесячно проценты по ставке 12 % годовых. Списание средств со счета идет ежемесячно в течение двух лет, сумма списаний ежемесячно уменьшается на 2 %. Ставка за кредит – 6% годовых. Разработайте график помесячного погашения задолженности, используя программу Excel.

Решение:

Размер ежемесячных взносов, которые получает кредитор:

R = 1,32114 тыс. руб.

Первая сумма списания со счета:

0,69314 тыс. руб.

Сумма списания со счета через t-месяцев:

Таким образом, суммы списания составят, тыс. руб.

Месяц	1-й	2-й		24-й	25-й		120-й
Списания со счета, V	0,69314	0,6793	…	0,4355	0	…	0
Взносы должника, R	0,628	0,64184	…	0,88564	1,32114	…	1,32114
Размер ежемесячных взносов, которые получает кредитор, R	1,32114	1,32114	…	1,32114	1,32114	…	1,32114

14. Рассматриваются предложения двух фирм по строительству промышленного объекта:

	Условия фирмы А	Условия фирмы Б
Цена нового объекта, руб.	500000+1000019 = 690000	550000+1000019 =740000
Срок строительства, лет	1	1
Авансовые платежи (вносятся при подписании контракта), руб.	200000+1000019 =390000	100000+1000019 =290000
Срок кредита, лет	8	7
Льготный период, лет	2	3
Ставка процентов, %	10	11

Кредит погашается равными годовыми выплатами. Ставка сравнения – q = 12%. Найти современные величины всех платежей по фирме А и Б.

Решение:

Найдем современную стоимость всех платежей по фирме А. Рентные платежи выплачиваются в течение 6 лет. Тогда:

Найдем современную величину всех платежей по фирме В. Срок аннуитета равен 7 – 3 = 4 года. Тогда:

Таким образом, из расчетов видно, что современная величина всех платежей по фирме А равна 639847 руб., а современная величина всех платежей фирмы В – 728014 руб. Преимущество фирмы А при принятой для сравнения процентной ставке 12% очевидно.

15. Оцените облигацию номиналом в (100+10n) руб. купонной ставкой 16%, выпущенной сроком на восемь лет, в начале жизни, в середине, за один год до погашения при значениях среднерыночной ставки 12 и 18%. Результаты обоснуйте. СТР. 82

Дано:	Решение:
N = 100+1019 = 290 руб. С = 16% = 0,16 N = 8 лет R1 = 12% = 0,12 R2 = 18% = 0,18	Оценим облигацию в начале жизни, используя следующую формулу: P = , Где С – размер купона; N – номинал облигации; R – процентная ставка; N – срок до погашения облигации P1 = = 46,44,968 + 2900,4039 = 230,5+117,1=347,6 руб. P2 = = 46,44,078 + 2900,266 =189,22+77,14 = 266,36 руб. В середине жизни рыночная цена облигации: P1 = = 140,9+184,3= 325,2 руб. P2 = =124,8+149,6 = 274,4 руб. За один год до погашения: P1 = = 41,4 +258,9= 300,3руб. P2 = =39,3+245,8= 285,1 руб.
P -?

Ответ: если купонная ставка меньше среднерыночной ставки, то рыночная цена облигации будет выше номинала, она будет продаваться с премией. При приближении даты выкупа стоимость облигации понижается. Обусловлено это тем, что по ней уже выплачена большая часть доходов, и к моменту выкупа остается получить только ее номинальную стоимость. Если купонная ставка больше среднерыночной, то рыночная цена облигации будет ниже номинала, в этом случае говорят, что облигация продается с дисконтом. С приближением даты выкупа происходит погашение дисконта. К концу срока погашения оценка облигации стремится к номиналу.

16. Купонную облигацию, срок жизни которой пять лет, с купоном в 10% и номиналом (1000+100n) руб. приобрели по цене (900+100n) руб. Найдите доходность к погашению.

Дано:	Решение:
Q = 10% = 0,1 N = 1000+10019 = 2900 руб P =900+10019 =2800 руб. N = 5 лет	Доходность облигации определим с помощью следующей формулы: Где i – доходность к погашению; Q - купонная ставка; N – номинал облигации Р – рыночная стоимость N – срок до погашения облигации 0,1088 или 10,88%
I - ?

Ответ: доходность к погашению равна 10,88%

17. 10% - ю купонную облигацию номиналом в N = (100+10n) руб. приобрели за 10 руб. Облигация имеет фонд погашения со следующим расписанием: 20% эмиссии после первого года, 30% - после второго года и оставшуюся часть эмиссии – после трех лет. Определите доходность к эквивалентной жизни.

Решение:

Средняя жизнь облигации составит:

AL = 0,21 + 0,32 + 0,53 = 2,3 года

Рассчитаем доходность данной облигации. Заполним таблицу:

Год	Купонная выплата, руб.	Общий денежный поток у инвесторов, руб.
1	29	29+20=49
2	29-(290.3) = 20,3	20,3+30=50,3
3	29-(290,5)=14,5	14,5+50=64,5

Рыночная цена облигации – 10 руб. Определим доходность, продисконтировав денежный поток у инвесторов на момент выпуска облигации:

10 =

Решением этого уравнения является ставка 493 %

18. Оцените акцию, которая за первый год принесет (100+10n) руб. дивидендов, а темп прироста дивидендов составит 5% в год. Минимальная приемлемая ставка – 10%.

Дано:	Решение:
Div = 100+1019 = 290 руб. G = 5% = 0,05 R = 10% = 0,1	Курсовая стоимость акции определяется по следующей формуле: P = , Где Div – размер дивидендов; G - темп прироста; R – ставка дисконтирования P = 6090 руб.
P - ?

Ответ: курсовая стоимость акции 6090 руб.

19. Оцените доходность портфеля, состоящего из пяти видов ценных бумаг. Здесь q = (5+n/2)%.

Номер ценной бумаги	Объем, занимаемый в портфеле, %	Ожидаемая ставка доходности, %
1	15	Q = 14,5
2	25	Q+4 = 18,5
3	10	Q+6 = 20,5
4	30	Q+2 = 16,5
5	20	Q-2 = 12,5

Решение:

Под ожидаемой доходностью портфеля понимается средневзвешенное значение ожидаемых значений доходности ценных бумаг, входящих в портфель. При этом «вес» каждой ценной бумаги определяется относительным количеством денег, направленных инвестором на покупку этой ценной бумаги. Ожидаемая доходность инвестиционного портфеля равна:

R портфеля, % = R1 × W1 + R2 × W2 + ... + Rn × Wn ,

Где Rn - ожидаемая доходность i-й акции;

Wn - удельный вес i-й акции в портфеле.

Q = (5 + 19/2) = 14,5%

R портфеля, % = 0,145×0,15 +0,185 ×0,25 + 0,205×0,1+0,165×0,3+0,125×0,2 =

= 0,02175+0,04625+0,0205+0,0495+0,025 = 0,163 или 16,3%

Ответ: доходность портфеля равна 16,3%

20. Рассчитать единовременные нетто-ставки в связи: 1) с дожитием; 2) на случай смерти для мужчины в возрасте (30+n) лет сроком на 5 лет. Используя коэффициент рассрочки, рассчитать годичные нетто-ставки в связи: 1) с дожитием; 2) на случай смерти.

Решение:

По таблицам смертности находим

80569 74609

Cогласно таблице смертности до возра

Ста 54 лет доживет 74609 из 80569 человек. Следовательно, и число выплат будет 74609. Единовременная нетто-ставка равна:

0,6019 или 60,19%

На случай смерти определим по следующей формуле:

0,05695 или 5,7%

Формулы годичных ставок (взнос уплачивается в начале срока страхования) для лица в возрасте 40 Лет при сроке страхования 6 лет:

А) на дожитие

Формулы расчета коэффициентов рассрочки: пренумерандо 4,13215

Тогда годичная нетто-ставка в связи с дожитием равна:

0,1457 или 14,57%

Б) на случай смерти

0,0138 или 1,38%

Ответ: единовременная нетто-ставка в связи с дожитием равна 60,19%, на случай смерти – 5,7%; годичные нетто ставки равны с дожитием – 14,57%, на случай смерти – 1,38%

< Предыдущая		Следующая >