Финансовая математика 01
Вариант 6.
Имеются следующие выборочные данные об уровне цен на условный товар по 30 магазинам района города за год (выборка 20%-ная, механическая).
Задание 1.
Признак – цена за единицу товара.
По исходным данным:
1) постройте статистический ряд распределения по указанному признаку, образовав пять групп с равными интервалами;
2) графическим методом и путем расчетов определите значения моды и медианы полученного ряда распределения;
3) рассчитайте характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
4) вычислите среднюю арифметическую по исходным данным, сравните её с аналогичным показателем, рассчитанным в п.3. для интервального ряда распределения. Объясните причину их расхождения.
Решение. 1) Для построения интервального вариационного ряда распределения, характеризующего распределение цены за единицу товара по 30 магазинам района города за год, необходимо вычислить величину и границы интервального ряда.
При построении ряда с равными интервалами величина интервала H определяется по формуле:
Xmax – максимальное значение признака;
Xmin – минимальное значение признака;
K – число групп интервального ряда.
Число групп K Задается в условии задания или рассчитывается по формуле Г. Стерджесса
K=1+3,322 lg n,
Где N – число единиц совокупности.
Получаем величину интервала при заданных K = 5, xMax = 720 руб.,
XMin = 970 руб.:
Руб.
При H = 12 тыс. руб. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2).
Таблица 2
Границы интервалов ряда распределения
Для построения интервального ряда необходимо посчитать количество магазинов, входящих в каждую группу (частота групп).
Процесс группировки совокупности по признаку цена за единицу товара представлен во вспомогательной табл. 3.
Таблица 3
Разработочная таблица для построения ряда распределения
На основе групповых итоговых строк формируется итоговая таблица 4, представляющая интервальный ряд распределения цены за единицу товара по 30 магазинам района города за год.
Таблица 4
Распределение магазинов района города по цене за единицу товара за год.
Частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты Sj, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (J-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле 
запишем в таблице5.
Таблица 5
Структура магазинов района города по уровню цен за единицу товара за год
Вывод: Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности магазинов района города показывает, что распределение магазинов по уровню цен за единицу товара за год является почти равномерным, первенствуют магазины с ценой за единицу товара от 820 до 870 руб. (это 8 магазинов, доля которых составляет 26,7%).
2) Нахождение моды и медианы получаемого интервального ряда распределения графическим методом и путем расчётов.
Мода и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими центр распределения единиц совокупности по распределяемому признаку.
Мода Мо для дискретного ряда – это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности. В интервальном вариационном ряду модой приближённо считается центральное значение модального интервала.
Для определения моды графическим методом строим по данным табл. 4 гистограмму распределения магазинов района города по цене за единицу товара за год.
Рис. 1 Определение моды графическим методом
Конкретное значение моды определяется по формуле:
,
Где 
– начало интервала, содержащего моду;
– величина интервала, содержащего моду;
– частота того интервала, в котором расположена мода;
– частота интервала, предшествующего модальному;
– частота интервала, следующего за модальным.
Согласно табл. 3 модальным интервалом построенного ряда является интервал 820 до 870 руб., так как его частота максимальна (F3 = 8).
Получаем:
руб.
Вывод: для рассматриваемой совокупности магазинов наиболее часто встречающаяся цена за единицу товара в изучаемых магазинах составляет 836,67 руб.
Медиана Ме – это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.
Для определения медианы графическим методом строим по данным табл.5 кумуляту распределения магазинов по изучаемому признаку.
Рис. 2 Определение медианы графическим методом
Конкретное значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:
Где 
– начало интервала, содержащего медиану;
– величина интервала, содержащего медиану;
– сумма всех частот;
– накопленная частота на начало интервала, предшествующего медианному;
– частота того интервала, в котором расположена медиана.
Определяем медианный интервал, используя табл.5. Медианным интервалом является интервал 820 – 870 руб., т. к. именно в этом интервале накопленная частота Sj = 20 впервые превышает полусумму всех частот равную
.
Имеем:
руб.
Вывод: в рассматриваемой совокупности магазинов одна половина магазинов имеет уровень цен на условный товар не более 849,17 руб., а другая – более 849,17 руб.
3) Для расчета средней арифметической, среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации на основе таблицы 5 строим вспомогательную таблицу 6 (
– середина J-го интервала).
Таблица 6
Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения
Расчет средней арифметической взвешенной:
руб.
Расчет дисперсии:
Расчет среднего квадратического отклонения:
руб.
Расчет коэффициента вариации:
Вывод: Анализ полученных значений показателей 
и 
говорит о том, что средний уровень цен на условный товар по 30 магазинам района города за год составляет 840 руб., отклонение от этой величины в ту или иную сторону составляет в среднем 63,71 руб. (или 7,58%).
Значение 
не превышает 33%, следовательно, вариация уровня цен на условный товар и совокупность по данному признаку однородна. Расхождение между значениями, Мо и Ме незначительно (
, 
), что подтверждает вывод об однородности совокупности. Таким образом, найденное среднее значение в 840 руб. уровня цен на условный товар по 30 магазинам района города за год является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности магазинов.
4) Вычислим среднюю арифметическую по исходным данным. Для расчета применим формулу средней арифметической простой:
руб.
Видим, что расхождения средних величин, рассчитанных по исходным данным и по интервальному ряду распределения нет, что говорит о достаточно равномерном распределении признака внутри каждой группы интервального ряда.
Задание 2.
По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,954 определите:
1) ошибку выборки средней цены за единицу товара и границы, в которых он будет находиться средняя цена за единицу товара для магазинов генеральной совокупности.
2) ошибку выборки доли магазинов со средней цены за единицу товара 820 руб. и более и границы, в которых будет находиться генеральная доля.
Решение. 1) По условию выборочная совокупность насчитывает 30 магазинов, выборка 20%-ная механическая, следовательно, генеральная совокупность включает 150 магазинов. Выборочная средняя и дисперсия 
определены в Задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в табл. 7:
Таблица 7
Рассчитаем среднюю ошибку выборки:
руб.
Рассчитаем предельную ошибку выборки:
руб.
Определим доверительный интервал для генеральной средней:
Вывод: На основании проведенного выборочного обследования с вероятностью 0,954 можно утверждать, что для генеральной совокупности магазинов средняя цена за единицу товара находится в пределах от 819,19 руб. до 860,81 руб.
2) Доля единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством, выражается формулой
,
Где M – число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;
N – общее число единиц в совокупности.
Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора предельная ошибка выборки 
доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле
Где W – доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;
(1 – W) – доля единиц совокупности, не обладающих заданным свойством,
N – число единиц в генеральной совокупности,
N – число единиц в выборочной совокупности.
По условию задания исследуемым свойством магазинов является равенство или превышение средней цены за единицу товара уровня в 820 руб.
Число магазинов с данным свойством определяется из табл. 3:
M = 18.
Рассчитаем выборочную долю:
Рассчитаем ошибку выборки для доли:
Рассчитаем предельную ошибку выборки для доли:
руб.
Определим доверительный интервал генеральной доли:
Или
44% ≤ Р ≤ 76%.
Вывод: С вероятностью 0,954 можно утверждать, что в генеральной совокупности магазинов района доля магазинов со средней цены за единицу товара 820 руб. и более будет находиться в пределах от 44% до 76%.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
