Элементы линейной алгебры
Элементы линейной алгебры.
Задача 1. Затраты трех видов сырья (А, В,С) на производство единицы каждого из трех типов продукции (I, II, III) и запасы каждого типа сырья даны в таблице:
Вид сырья |
Тип продукции I II III |
Запасы сырья | ||
А |
7 |
0 |
5 |
220 |
В |
2 |
3 |
2 |
140 |
С |
5 |
1 |
1 |
100 |
Определить план производства, обеспечивающий использование всего сырья. Составить математическую модель задачи и решить систему матричным методом.
Решение. Пусть предприятие выпустит x1 единиц - продукции I, х2 единиц - продукции II, хз единиц - продукции III.
7x1+0∙x2+5∙хз - расход сырья А на все виды продукции. По условию задачи расход сырья А должен равняться запасу 220, т. е. 7x1+5x3=220. Аналогично, приравнивая расходы и запасы сырья В и С, получаем систему уравнений
. Обозначим X = -матрица объемов выпуска I, II, III типов продукции.
А = - матрица затрат ресурсов, А0 = - матрица запасов ресурсов.
Систему уравнений можно представить в матричном виде:
А ∙ X = А0, Х = А-1 ∙ А0, (7)
где А-1- обратная матрица к квадратной матрице А =
Формула для вычисления обратной матрицы
А--1= (8)
- определитель матрицы А, который вычисляется по формуле
|А|= а11а22а33+а12а23а31+а21а32а13-а13а22а31-а12а21а33-а23а32а11 (9)
= = 21 + 10 + 0 - 75 - 14 - 0 = -58 0.
Т. к. определитель матрицы А не равен 0, то матрица А невырожденная и для нее существует обратная матрица A-1. Аij называется алгебраическим дополнением к элементу и равно
Aij = (-1)1+jМ (10)
Минор элемента aij - это определитель, полученный из данного определителя вычеркиванием i-ой строки и j-гo столбца.
Отсюда А-1 = -
Согласно формуле (7) Х = А-1A0
получили x1=10 х2=20 х3=30.
Задача 2.
Расценки на проведение работ одним из трёх видов оборудования А, В,С для каждого из 3-х видов услуг:
1 – технического обслуживания;
2 – транспортные услуги;
3 – капитальный ремонт - заданы векторами: d1(a1,b1,c1); d2(a2,b2,c2); d3(a3,b3,c3); Полные затраты на выполнение каждого из 3-х видов услуг заданы вектором Q(g1,g2,g3). Определить расчётные объёмы работ (число часов использования оборудования каждого вида), которые смогут окупить затраты на услуги.
Составить математическую модель задачи.
Решить а) матричным методом;
б) методом Крамера.
Х – число часов использования оборудования А;
У – число часов использования оборудования В;
Z – число часов использования оборудования С.
Решение системы уравнений матричным способом приведено в задаче 3.
Решим систему уравнений методом Крамера.
Обозначим
, , , , , , .
, , .
< Предыдущая | Следующая > |
---|