Экзаменационные билеты по математическому анализу (18 штук)

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1

1. Вычислить двойной интеграл по прямоугольной области D:.

Решение

Поскольку функция f (x, y) представляет собой произведение f (x)g(y), интеграл равен

Ответ:

2. Вычислить криволинейный интеграл , если L – отрезок прямой , заключенный между точками А (0;-2) и В (4;0).

3. Исследовать на сходимость числовые ряды и указать применяемые признаки: а) ; б) .

4. Найти область и радиус сходимости степенного ряда .

Решение

Найдём интервал сходимости ряда: , . Тогда ,

Следоветельно, данный ряд расходится при любом x.

5. В урне содержится 5 белых и 4 черных шара, различающихся только цветом. Вынимаются наудачу два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые?

Решение

Всего в урне 9 шаров. Будем считать, что все они пронумерованы. Эти 9 шаров разделяются на две группы. Первая группа состоит из 5-ти белых шаров, вторая группа состоит из 4-х черных шаров. Эксперимент состоит в изъятии наудачу 2-х шаров из 9-ти шаров (их порядок не имеет значения). Элементарным событием в этом эксперименте является любое сочетание из 9-ти элементов по 2. Тогда число таких элементарных событий равно . Пусть событие A – оба шара белые . По формуле классического определения вероятности .

Ответ:

6. Имеется три партии ламп по 20, 30, 50 штук в каждой соответственно. Вероятность того, что лампы проработают заданное время, равна для каждой партии соответственно 0,7, 0,8 и 0,9. Какова вероятность того, что выбранная наудачу лампа из ста данных ламп проработает заданное время?

Решение

Пусть событие А, вероятность которого надо вычислить, состоит в том, что извлеченная радиолампа проработает заданное время. Пусть гипотезы В1, В2, В3 означают соответственно, что наудачу выбранная радиолампа принадлежит 1-й, 2-й, 3-й партии. По классическому определению вероятности: Р(В1) = 0,2; Р(В2) = 0,3; Р(В3) = 0,5.

По условию задачи: Р() = 0,7; Р() = 0,8; Р() = 0,9.

По формуле полной вероятности: Р(А) = Находим:

Р(А) = Р(В1)· Р() + Р(В2)· Р() + Р(В3)· Р() = 0,83.

Ответ: Р(А)=0,83.

7. Случайная величина Х распределена следующим образом:

Х	1	3	4	5	6
Р	0,25	0,15	0,2	0,3	0,1

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Решение

Найдем математическое ожидание случайной величины X. Используя формулу , получим

Вычислим дисперсию. По формуле имеем:

Ответ: ,

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 2

1. Вычислить двойной интеграл по прямоугольной области D: .

Решение

Выражая двойной интеграл через повторный (в котором внутренний интеграл зависит от x), получаем

Ответ:

2. Вычислить криволинейный интеграл , если дуга параболы АВ соединяет точки А (1;1) и В (2;4) и задана уравнением .

Решение

По формуле .

На отрезке АВ . Подставляя в подынтегральную функцию вместо у его выражение через х () и замечая, что при перемещении от А к В х меняется от 1 до 2, получаем

Ответ:

3. Исследовать на сходимость числовые ряды и указать применяемые признаки: а) ; б) .

4. Найти область и радиус сходимости степенного ряда .

Решение

Найдём интервал сходимости ряда: , . Тогда

Имеем интервал абсолютной сходимости ряда:

5. Брошены 2 игральные кости. Найти вероятность того, что хотя бы на одной кости выпадет 6 очков.

Решение

Всего вариантов выпадения костей x=62

Чтобы выпадали кости только от 1 до 5: y = 52

Отсюда по классическому определению вероятности p(A)=y/x –вероятность того, что ни на одной кости не выпадает 6 очков.

Событие B - хотя бы на одной кости выпадает 6 очков, прямо противоположному событию A: p(B) = 1 - p(A). Тогда искомая вероятность.

Ответ:

6. В ящике содержится 20 деталей с завода № 1, 15 деталей – с завода № 2, 15 деталей – с завода № 3. Вероятность того, что деталь с завода № 1 отличного качества, равна 0,6. Вероятность того, что деталь с завода № 2 отличного качества, равна 0,9. Вероятность того, что деталь с завода № 3 отличного качества, равна 0,8. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь отличного качества.

Решение

Н1 – деталь с 1-го завода.

Н2 - деталь со 2-го завода.

Н3 - деталь с 3-го завода.

Тогда Р(Н1) =0,4 ; Р(Н2) = 0,3 ; Р(Н3) = 0,3 (По формуле классической вероятности, всего деталей 20+15+15=50)

А - извлеченная деталь отличного качества.

По условию , ,

По формуле полной вероятности

Тогда

Ответ: Р (А) = 0,75

7. Построить ряд распределения числа попаданий в ворота при двух одиннадцатиметровых ударах, если вероятность попадания при каждом ударе равна 0,7.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 3

1. Вычислить двойной интеграл по прямоугольной области D: .

Решение

Выражая двойной интеграл через повторный (в котором внутренний интеграл зависит от x), получаем

Ответ:

2. Вычислить криволинейный интеграл , если L – отрезок прямой , заключенный между точками А (0;-2) и В (4;0).

3. Исследовать на сходимость числовые ряды и указать применяемые признаки:

А) ; б) .

4. Найти область и радиус сходимости степенного ряда .

Решение

Найдём интервал сходимости ряда ,

Так как

Тогда или , .

Ряд сходится на интервале (-1;5) абсолютно.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

При x=-1 получим ряд , данный ряд является

Знакочередующимся, исследуем его на абсолютную сходимость: Воспользуемся вторым признаком сравнения: , , . Следовательно и сходятся или расходятся одновременно, а так как ряд расходится как гармонический, то ряд не сходится абсолютно. Ряд сходится условно по признаку Лейбница и .

При х=5 получим ряд - мы убедились выше, этот ряд расходится.

Имеем интервал абсолютной сходимости ряда: . В т. х=-1 ряд сходится условно

5. Код домофона состоит из 8 цифр, которые могут повторяться. Какова вероятность того, что, случайно набирая цифры, можно угадать нужный код?

Решение

По формуле классического определения вероятности , где m=1 - число благоприятствующих событию исходов (только одна комбинация верная), n=108 - общее число исходов (на первом месте кода может стоять одна из 10 цифр, на втором месте так же одна из 10 цифр и так далее… По теореме умножения n=108). Окончательно

Ответ:

6. Военный корабль может пройти вдоль пролива шириной 1 км с минным заграждением в любом месте. Вероятность его подрыва на мине в правой части заграждения шириной 200 метров равна 0,3, а на остальной части – 0,8. Найти вероятность того, что корабль благополучно пройдет залив.

Решение

Н1 – корабль проходит в правой части заграждения.

Н2 - корабль проходит в остальной части заграждения.

Тогда по условию Р(Н1) =0,5 ; Р(Н2) = 0,5.

А - корабль благополучно пройдет залив.

По условию , .

По формуле полной вероятности

Тогда

Ответ: Р (А) = 0,45

7. Случайная величина Х распределена следующим образом:

Х	-2	1	2	3
Р	0,08	0,4	0,32	0,2

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Решение

Найдем математическое ожидание случайной величины X. Используя формулу , получим.

Вычислим дисперсию. По формуле имеем:

Ответ: ,

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 4

1. Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями: .

Решение

Изобразим данную область

Пересечение данных ограничивают данную область.

Тогда выражая двойной интеграл через повторный (в котором внутренний интеграл зависит от у), получаем

Ответ:

2. Вычислить криволинейный интеграл, если АВ – отрезок прямой , соединяющий точки А (0;0) и В (1;1).

Решение

По формуле .

На отрезке АВ . Подставляя в подынтегральную функцию вместо у его выражение через х () и замечая, что при перемещении от А к В х меняется от 0 до 1, получаем

Ответ:

3. Исследовать на сходимость числовые ряды и указать применяемые признаки: а) ; б) .

4. Найти область и радиус сходимости степенного ряда .

Решение

Найдём интервал сходимости ряда

Тогда или

Ряд сходится на интервале (-1;1) абсолютно.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

При x=-1 получим ряд . Проверим выполнение необходимого условия сходимости ряда . В нашем случае - следовательно не выполняется необходимое условие сходимости ряда – ряд расходится.

При х=1 получим ряд - мы убедились выше, этот ряд расходится.

Имеем интервал абсолютной сходимости ряда: .

5. В урне содержится 5 белых и 4 черных шара, различающихся только цветом. Вынимаются наудачу два шара. Найти вероятность того, что хотя бы один из них черный?

Решение

По формуле классического определения вероятности . Вероятность того, что хотя бы один из вынутых шаров черный обратна вероятности . Тогда искомая вероятность

Ответ:

6. В магазин поступают одинаковые изделия с трех заводов, причем 1-й завод поставил 50 изделий, 2-й – 30, 3-й – 20 изделий. Среди изделий 1-го завода 70 % первосортных, среди изделий 2-го – 80 %, 3-го – 90 % первосортных. Куплено одно изделие. Какова вероятность того, что оно оказалось первосортным?

Решение

Н1 – изделие с 1-го завода.

Н2 - изделие со 2-го завода.

Н3 - изделие с 3-го завода.

Тогда Р(Н1) =0,5 ; Р(Н2) = 0,3 ; Р(Н3) = 0,2 (По формуле классической вероятности, всего деталей 50+30+20=100)

А – купленное изделие первосортное.

По условию , ,

По формуле полной вероятности

Тогда

Ответ: Р(А) = 0,77

7. Монета подбрасывается 5 раз. Составить закон распределения дискретной случайной величины – числа выпадений герба.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 5

1. Вычислить двойной интеграл по прямоугольной области D: .

Решение

Поскольку функция f (x, y) представляет собой произведение f (x)g(y), интеграл равен

Ответ:

2. Вычислить криволинейный интеграл , если L – отрезок прямой , заключенный между точками А (0;-2) и В (1;0).

3. Исследовать на сходимость числовые ряды и указать применяемые признаки:

А) ; б).

Решение

А) . Используем признак Даламбера. Для рассматриваемого ряда

; .Вычислим

Следовательно, по признаку Даламбера, исходный ряд расходится.

Б) Проверим выполнение необходимого условия сходимости рядов . В нашем случае

Тогда так как , то не выполняется необходимое условие сходимости ряда. Данный ряд расходится.

4. Найти область и радиус сходимости степенного ряда .

Решение

Найдём интервал сходимости ряда

Следовательно, данный ряд сходится при

5. В корзине находятся 5 белых и 7 черных перчаток. Найти вероятность того, что пара, которую достали наугад, окажется одноцветной.

Решение

Из корзины выбирается по паре перчаток. Всего в корзине 12 перчаток. Количество различных выборок по 2 перчатки из 12 равно:

Вероятность выбрать 2 белых перчатки равна количеству различных выборок по 2 белых перчатки из 5 деленному на общее количество выборок (то есть на количество выборок по 2 перчатки из 12). То есть

Вероятность выбрать 2 черных перчатки равно количеству выборок по 2 черных перчатки из 7 деленному на общее количество выборок. То есть

Так как события вытащить 2 белых и 2 черных перчатки независимы, то полная вероятность вытащить 2 одноцветных перчатки равна сумме вероятностей вытащить 2 белые и 2 черные перчатки. То есть

Ответ:

6. С первого станка на сборку поступает 40 % изготовленных деталей, со второго – 30 %, с третьего – 30 %. Вероятность изготовления бракованной детали для каждого станка равна соответственно 0,01, 0,03 и 0,05. Найти вероятность того, что наудачу выбранная деталь оказалась бракованной.

Решение

Н1 - деталь с 1-го станка. Н2 - деталь со 2-го станка. Н3 - деталь с 3-го станка. Тогда по условию Р(Н1) =0,4 ; Р(Н2) = 0,3 ; Р(Н3) = 0,3

А – наудачу выбранная деталь бракованная.

По условию , ,

По формуле полной вероятности

Тогда

Ответ: Р(А) = 0,028

7. Контрольная работа по теории вероятностей состоит из 6 задач. Вероятность решить правильно каждую задачу для курсанта Иванова равна 0,7. Найти математическое ожидание случайной величины Х – числа правильно решенных задач.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 6

1. Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями: .

Решение

Изобразим данную область

Пересечение данных ограничивают данную область.

Тогда выражая двойной интеграл через повторный (в котором внутренний интеграл зависит от у), получаем

Ответ:

2. Вычислить криволинейный интеграл , если линия АВ Соединяет точки А (0;0) и В (1;1) и задана уравнением .

Решение

По формуле .

Ответ:

3. Исследовать ряды на сходимость и указать применяемые признаки:

А) ; б) .

4. Найти область и радиус сходимости степенного ряда .

Решение

Найдём интервал сходимости ряда

Тогда или ,

Ряд сходится на интервале Абсолютно.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

При x=4 получим ряд . Данный ряд знакочередующийся. Исследуем данный ряд на абсолютную сходимость - ряд расходится как обобщенный гармонический (р=0,5<1)

Следовательно ряд Не сходится абсолютно. Ряд сходится условно по признаку Лейбница и .

При х=2 получим ряд - мы убедились выше, этот ряд расходится.

Имеем интервал абсолютной сходимости ряда: . В т. х=4 ряд сходится условно

5. Из 40 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, курсант знает 30. Найти вероятность того, что среди трех наугад выбранных вопросов курсант знает все три вопроса.

Решение

Общее число вариантов вытянуть 3 вопроса из 40

Благоприятное число случаев – число случаев вынуть 3 вопроса из 30 известных .

Тогда по формуле классического определения вероятности. искомая вероятность

Ответ:

Решение

Пусть событие А, вероятность которого надо вычислить, состоит в том, что извлеченная лампа проработает заданное время. Пусть гипотезы В1, В2, В3 означают соответственно, что наудачу выбранная лампа принадлежит 1-й, 2-й, 3-й партии. По классическому определению вероятности: Р(В1) = 0,2; Р(В2) = 0,3; Р(В3) = 0,5.

По условию задачи: Р() = 0,7; Р() = 0,8; Р() = 0,9.

По формуле полной вероятности: Р(А) = Находим:

Р(А) = Р(В1)· Р() + Р(В2)· Р() + Р(В3)· Р() = 0,83.

Ответ: Р(А)=0,83.

7. Три стрелка, ведущие огонь по цели сделали по одному выстрелу. Вероятности их попадания в цель соответственно равны 0,5, 0,6, 0,8. Построить ряд распределения случайной величины – числа попаданий в цель.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 7

1. Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями: .

Решение

Изобразим данную область

Пересечение данных ограничивают данную область.

Тогда выражая двойной интеграл через повторный (в котором внутренний интеграл зависит от у), получаем

Ответ:

2. Вычислить криволинейный интеграл , если L – отрезок прямой , заключенный между точками А (1;0) и В (0;1).

Решение

Прямолинейный отрезок АВ лежит в плоскости Оху, на нем задана функция f(х, у)=. Уравнение прямой АВ имеет вид . Так как , то

По формуле Получаем

Ответ:

3. Исследовать на сходимость числовые ряды и указать применяемые признаки:

А) ; б) .

4. Найти область и радиус сходимости степенного ряда .

Решение

Найдём интервал сходимости ряда

Тогда или .

Ряд сходится на интервале Абсолютно.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

При x=-1 получим ряд . Данный ряд знакочередующийся. Исследуем данный ряд на абсолютную сходимость - ряд расходится как гармонический (воспользуемся вторым признаком сравнения: , , . Следовательно и сходятся или расходятся одновременно, а так как ряд расходится как гармонический – то расходится и ряд )

Следовательно ряд Не сходится абсолютно. Ряд сходится условно по признаку Лейбница и .

При х=1 получим ряд - мы убедились выше, этот ряд расходится.

Имеем интервал абсолютной сходимости ряда: . В т. х=-1 ряд сходится условно

5. В группе 17 девушек и 14 юношей. Наудачу вызываются 2 человека. Определить вероятность того, что оба вызванных окажутся юношами.

Решение

Всего в группе 31 человек. Общее число случаев назвать 2х человек из 31

Благоприятное число случаев – назвать двоих юношей из 14ти .

Тогда по формуле классического определения вероятности. искомая вероятность

Ответ:

6. Перед посевом 80 % всех семян было обработано химическими препаратами. Вероятность поражения растений, проросших из этих семян, вредителями равна 0,06, а растений, проросших из необработанных семян – 0,3. Какова вероятность того, что взятое наудачу растение окажется пораженным?

Решение

Н1 – взятое наудачу растение было обработано химическими препаратами.

Н2 - взятое наудачу растение не было обработано химическими препаратами.

Тогда по условию Р(Н1) =0,8 ; Р(Н2) = 0,2

А – взятое наудачу растение окажется пораженным.

По условию ,

По формуле полной вероятности

Тогда

Ответ: Р(А) = 0,108

7. В партии, содержащей 20 изделий, имеется 4 изделия с дефектами. Наудачу отобрали три изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения случайной величины – числа дефектных изделий, содержащихся в указанной выборке.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 8

1. Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями Х = у, у = 0, х =1.

Решение

Изобразим данную область

Пересечение данных ограничивают данную область.

Тогда выражая двойной интеграл через повторный (в котором внутренний интеграл зависит от у), получаем

Ответ:

2. Вычислить криволинейный интеграл , если дуга АВ параболы расположена над осью Ох (направление интегрирования – по ходу часовой стрелки).

3. Исследовать на сходимость числовые ряды и указать применяемые признаки:

А) ; б) .

4. Найти область и радиус сходимости степенного ряда .

Решение

Найдём интервал сходимости ряда

Тогда , или .

Ряд сходится на интервале Абсолютно.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

При x=0 получим ряд . Данный ряд знакочередующийся. Исследуем данный ряд на абсолютную сходимость - ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости рядов

При х=6 получим ряд - мы убедились выше, этот ряд расходится.

Имеем интервал абсолютной сходимости ряда:

5. Из колоды в 36 карт извлекаются наудачу 4 карты. Какова вероятность того, что все извлеченные карты пиковой масти.

Решение

Всего в группе 36 карт. Общее число вариантов вытянуть 4 карты из 36

Благоприятное число случаев – извлечь 4 пиковых карты из 9 (всего пиковых карт в колоде 9 штук) .

Тогда по формуле классического определения вероятности. искомая вероятность

Ответ:

6. Имеется три партии ламп по 20, 30, 50 штук в каждой соответственно. Вероятность того, что лампы проработают заданное время, равна для каждой партии соответственно 0,7, 0,8 и 0,9. Известно, что выбранная лампа проработала заданное время. Какова вероятность того, что выбрана лампа из первой партии?

Решение

Пусть событие А состоит в том, что извлеченная лампа проработает заданное время. Пусть гипотезы В1, В2, В3 означают соответственно, что наудачу выбранная лампа принадлежит 1-й, 2-й, 3-й партии. По классическому определению вероятности: Р(В1) = 0,2; Р(В2) = 0,3; Р(В3) = 0,5.

По условию задачи: Р() = 0,7; Р() = 0,8; Р() = 0,9.

По формуле полной вероятности: Р(А) = Находим:

Р(А) = Р(В1)· Р() + Р(В2)· Р() + Р(В3)· Р() = 0,83.

Из условия задачи известно, что наудачу выбранная радиолампа проработала заданное время, т. е. событие А уже произошло. Теперь вычислим вероятность гипотезы В1 при условии, что событие А произошло.

По формуле Байеса Р() = находим:

Р() = » 0,17.

Ответ: Р()»0,17

7. Случайная величина Х распределена следующим образом:

Х	1	2	3	4
Р				С

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Решение

Найдём значение С. Так как сумма всех вероятностей должна равняться 1. То

Найдем математическое ожидание случайной величины X. Используя формулу , получим

Вычислим дисперсию. По формуле имеем:

Ответ: ,

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 9

1. Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями: Х2 = У, У2 = Х.

Изобразим данную область

Пересечение данных ограничивают данную область.

Тогда выражая двойной интеграл через повторный (в котором внутренний интеграл зависит от у), получаем

Ответ:

2. Вычислить криволинейный интеграл по отрезку прямой от точки до точки .

Решение

Прямолинейный отрезок АВ лежит в плоскости Оху, на нем задана функция f(х, у)=х. Уравнение прямой АВ имеет вид (строим по 2м точкам) . Так как , то

По формуле Получаем

Ответ:

3. Исследовать на сходимость числовые ряды и указать применяемые признаки:

А) ; б) .

4. Найти область и радиус сходимости степенного ряда .

Решение

Найдём интервал сходимости ряда

Следовательно, ряд сходится на интервале Абсолютно.

5. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго – 0,8, для третьего – 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.

Решение

Имеем Р(A)=0,75, P(B)=0,8, P(C)=0,9. Тогда вероятность, что все три стрелка попадут в цель по теореме умножения вероятностей независимых событий Р(А∩В∩С)=P(A)·P(B)·P(C)=0,75·0,8·0,9=0,54.

Ответ: Р=0,54.

6. В магазин поступают одинаковые изделия с трех заводов, причем 1-й завод поставил 30 изделий, 2-й – 50, 3-й – 20 изделий. Среди изделий 1-го завода 90 % первосортных, среди изделий 2-го – 80 %, 3-го – 70 % первосортных. Куплено одно изделие, причем оказалось, что оно первого сорта. Найти вероятность того, что это изделие выпущено третьим заводом.

Решение

Пусть событие А состоит в том, что купленное изделие первого сорта. Пусть гипотезы В1, В2, В3 означают соответственно, что купленное изделие принадлежит 1-му, 2-му, 3-му заводу. По классическому определению вероятности: Р(В1) = 0,3; Р(В2) = 0,5; Р(В3) = 0,2.

По условию задачи: Р() = 0,9; Р() = 0,8; Р() = 0,7.

По формуле полной вероятности: Р(А) = Находим:

Р(А) = Р(В1)· Р() + Р(В2)· Р() + Р(В3)· Р() =

=0,3*0,9+0,5*0,8+0,2*0,7=0,27+0,4+0,14=0,81.

Из условия задачи известно, что купленное изделие первого сорта, т. е. событие А уже произошло. Теперь вычислим вероятность гипотезы В3 при условии, что событие А произошло.

По формуле Байеса Р() = находим:

Р() = .

Ответ: Р()=

7. В урне 8 шаров, из которых 5 белых, остальные – черные. Наудачу вынимают три шара. Составить закон распределения случайной величины – числа белых шаров в выборке.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 10

1. Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями У = 9 – х2, у = 0.

Решение

Изобразим данную область

Пересечение данных ограничивают данную область.

Тогда выражая двойной интеграл через повторный (в котором внутренний интеграл зависит от у), получаем

Ответ:

2. Вычислить криволинейный интеграл по параболе от точки до точки .

Решение

АВ лежит в плоскости Оху, на нем задана функция f(х, у)=у. Уравнение прямой АВ имеет вид . Так как , то .

По формуле Получаем

Ответ:

3. Исследовать на сходимость числовые ряды и указать применяемые признаки:

А) ; б) .

4. Найти область и радиус сходимости степенного ряда .

Решение

Найдём интервал сходимости ряда

Тогда , или .

Ряд сходится на интервале Абсолютно.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

При x=-5 получим ряд . Данный ряд знакочередующийся. Исследуем данный ряд на абсолютную сходимость - ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости рядов

При х=1 получим ряд - мы убедились выше, этот ряд расходится.

Имеем интервал абсолютной сходимости ряда:

5. В корзине находятся 4 белых и 7 черных перчаток. Вынимаются наугад две перчатки. Найти вероятность того, что вынутые перчатки разного цвета.

Решение

Искомая вероятность - вероятность того, что вынутые перчатки разного цвета – противоположна вероятности . Тогда

Ответ:

6. В сборочный цех завода поступает 60 % деталей из I цеха и 40 % – из II цеха. В I цехе производится 90 % стандартных деталей, а во II – 95 %. Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется стандартной.

Решение

Н1 – деталь из 1-го цеха.

Н2 - деталь из 2-го цеха.

Тогда, по условию Р(Н1) =0,6 ; Р(Н2) = 0,4 ;

А - извлеченная деталь стандартная.

По условию ,

По формуле полной вероятности

Тогда

Ответ: Р (А) = 0,92

7. Монета бросается 4 раза. Составить закон распределения случайной величины – числа выпадений герба.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 11

1. Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями: Х - у2 = 0, х = 1, у = 0.

Решение

Изобразим данную область

Пересечение данных линий ограничивают 2 области. Будем искать интеграл от области при .

Тогда выражая двойной интеграл через повторный, получаем

Ответ:

2. Вычислить криволинейный интеграл , где L – отрезок прямой , заключенный между точками .

3. Исследовать на сходимость числовые ряды и указать применяемые признаки:

А) ; б) .

Решение

А) . Используем признак Даламбера. Для рассматриваемого ряда ; .Вычислим

Следовательно, по признаку Даламбера, исходный ряд сходится.

Б) Проверим выполнение необходимого условия сходимости рядов . В нашем случае

Тогда так как , то не выполняется необходимое условие сходимости ряда. Данный ряд расходится.

4. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение

Найдём интервал сходимости ряда

Тогда или

Ряд сходится на интервале (-1;1) абсолютно.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

При х=1 получим ряд - мы убедились выше, этот ряд расходится.

Имеем интервал абсолютной сходимости ряда: .

5. В группе 15 девушек и 19 юношей. Вызывают наудачу 2 человек. Определить вероятность того, что будут вызваны 2 девушки.

Решение

Всего в группе 34 человек. Общее число случаев вызвать 2х человек из 34

Благоприятное число случаев – вызвать двоих девушек из 15ти .

Тогда по формуле классического определения вероятности. искомая вероятность

Ответ:

6. В торговую сеть поставляются телевизоры тремя фирмами в соотношении 5 : 2 : 3. Телевизоры, поступающие от этих фирм, не требуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 96 %, 92% и 94% случаев. Найти вероятность того, что купленный наудачу телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.

Решение

Н1 – телевизор поступил с 1-й фирмы.

Н2 - телевизор поступил с 2-й фирмы.

Н3 - телевизор поступил с 3-й фирмы.

Тогда Р(Н1) =0,5 ; Р(Н2) = 0,2 ; Р(Н3) = 0,3

А – купленный наудачу телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.

По условию , ,

По формуле полной вероятности

Тогда

Ответ: Р(А) = 0,946

7. Производится три независимых выстрела по цели. Вероятности попадания при разных выстрелах одинаковы и равны 0,9. Составить закон распределения случайной величины – числа попаданий в цель.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 12

1. Вычислить двойной интеграл по прямоугольной области D: .

Решение

Поскольку функция f (x, y) представляет собой произведение f (x)g(y), интеграл равен

Ответ:

2. Вычислить криволинейный интеграл по параболе от точки (0; 0) до точки (2; 2).

Решение

АВ лежит в плоскости Оху, на нем задана функция f(х, у)=у. Уравнение прямой АВ имеет вид . Так как , то .

По формуле Получаем

Ответ:

3. Исследовать на сходимость числовые ряды и указать применяемые признаки:

а) ; б) .

4. Найти область и радиус сходимости степенного ряда .

Решение

Найдём интервал сходимости ряда

Тогда или ,

Ряд сходится на интервале Абсолютно.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

При x=-4 получим ряд . Данный ряд знакочередующийся. Исследуем данный ряд на абсолютную сходимость - ряд расходится как обобщенный гармонический (р=0,5<1)

Следовательно ряд Не сходится абсолютно. Ряд сходится условно по признаку Лейбница и .

При х=-2 получим ряд - мы убедились выше, этот ряд расходится.

Имеем интервал абсолютной сходимости ряда: . В т. х=-4 ряд сходится условно

5. Из колоды в 36 карт извлекаются наудачу 4 карты. Какова вероятность того, что среди этих 4 карт окажется хотя бы один король?

Решение

Всего в колоде 36 карт. Общее число способов извлечь 4 карты из колоды

Число способов не вынуть ни одного короля из колоды (так как в колоде 4 короля, то карт-не королей всего 32)

Тогда по формуле классического определения вероятности - вероятность не вынуть ни одного короля

Искомая вероятность - вероятность того, что среди 4 карт окажется хотя бы один король противоположна вероятности . Тогда

Ответ:

6. Военный корабль может пройти вдоль пролива шириной 1 км с минным заграждением в любом месте. Вероятность его подрыва на мине в правой части заграждения шириной 200 метров равна 0,3, а на остальной части – 0,8. Известно, что корабль благополучно прошел пролив. Какова вероятность того, что он прошел в левой части пролива.

7. Случайная величина Х распределена следующим образом:

Х	1	2	3	4	5
Р	0,3	0,15	0,2	0,1	0,25

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Решение

Найдем математическое ожидание случайной величины X. Используя формулу , получим

Вычислим дисперсию. По формуле имеем:

Ответ: ,

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 13

1. Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями: х = У, Х + У = 2, Х = 0.

Решение

Изобразим данную область

Пересечение данных линий ограничивают данную область.

Тогда выражая двойной интеграл через повторный, получаем

Ответ:

2. Вычислить криволинейный интеграл по кривой от точки (0; 0) до точки (2; 8).

Решение

По формуле .

На отрезке АВ . Подставляя в подынтегральную функцию вместо у его выражение через х () и замечая, что при перемещении от А к В х меняется от 0 до 2, получаем

Ответ:

3. Исследовать на сходимость числовые ряды и указать применяемые признаки:

А) ; б) .

4. Найти область и радиус сходимости степенного ряда .

Решение

Найдём интервал сходимости ряда

Тогда или .

Ряд сходится на интервале Абсолютно.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

Следовательно ряд Не сходится абсолютно. Ряд сходится условно по признаку Лейбница и .

При х=1 получим ряд - мы убедились выше, этот ряд расходится.

Имеем интервал абсолютной сходимости ряда: . В т. х=-1 ряд сходится условно

5. Монета подброшена 2 раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадает герб?

Решение

При одном бросании монеты герб выпадет с вероятностью 1/2 (По формуле классического определения вероятности , где m=1, n=2).

При втором бросании так же герб выпадет с вероятностью 1/2.

Поскольку эти два опыта (бросания) друг с другом не связаны, они являются независимыми событиями. Следовательно, применяется правило произведения вероятностей независимых событий Р(А)=1/2 * 1/2 = 1/4.

Ответ: Р(А)=1/4.

6. С первого станка на сборку поступает 40 % изготовленных деталей, со второго – 35 %, с третьего – 25 %. Вероятность изготовления бракованной детали для каждого станка равна соответственно 0,01, 0,03 и 0,05. Известно, что наудачу выбранная деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь поступила с первого станка?

Решение

Пусть событие А состоит в том, что наудачу выбранная деталь бракованная. Пусть гипотезы В1, В2, В3 означают соответственно, что наудачу выбранная деталь изготавливалась на 1-м, 2-м, 3-м станке соответственно. По условию: Р(В1) = 0,4; Р(В2) = 0,35; Р(В3) = 0,25.

По условию задачи: Р() = 0,01; Р() = 0,03; Р() = 0,05.

По формуле полной вероятности: Р(А) = Находим:

Р(А) = Р(В1)· Р() + Р(В2)· Р() + Р(В3)· Р() =

=0,4*0,01+0,35*0,03+0,25*0,05=0,004+0,105+0,0125=0,1215.

Из условия задачи известно, что наудачу выбранная деталь бракованная, т. е. событие А уже произошло. Теперь вычислим вероятность гипотезы В1 при условии, что событие А произошло.

По формуле Байеса Р() = находим:

Р() = .

Ответ: Р()=

7. По мишени произведено три выстрела. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Составить закон распределения случайной величины – числа попаданий в мишень.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 14

1. Вычислить двойной интеграл По области, ограниченной линиями: х∙у = 1, у - х = 0, х = 2.

Решение

Изобразим данную область

Пересечение данных линий ограничивают данную область.

Тогда выражая двойной интеграл через повторный, получаем

Ответ:

2. Вычислить криволинейный интеграл по параболе от точки (1; 1) до точки (2; 4).

Решение

АВ лежит в плоскости Оху, на нем задана функция f(х, у)=х. Уравнение прямой АВ имеет вид . Так как , то

По формуле Получаем

Ответ:

3. Исследовать числовые ряды на сходимость и указать применяемые признаки:

А) ; б) .

4. Найти область и радиус сходимости степенного ряда .

Решение

Найдём интервал сходимости ряда

Следовательно, данный ряд сходится при

5. В корзине находятся 8 белых и 3 черных перчатки. Вынимаются наугад две перчатки. Найти вероятность того, что вынутые перчатки разного цвета.

Решение

Из корзины выбирается по паре перчаток. Всего в корзине 11 перчаток. Количество различных выборок по 2 перчатки из 11 равно:

Вероятность выбрать 2 белых перчатки равна количеству различных выборок по 2 белых перчатки из 8 деленному на общее количество выборок (то есть на количество выборок по 2 перчатки из 11). То есть

Вероятность выбрать 2 черных перчатки равно количеству выборок по 2 черных перчатки из 3 деленному на общее количество выборок. То есть

Ответ:

6. Имеется три партии ламп по 40, 35, 25 штук в каждой соответственно. Вероятность того, что лампы проработают заданное время, равна для каждой партии соответственно 0,7, 0,8 и 0,9. Известно, что выбранная лампа проработала заданное время. Какова вероятность того, что выбрана лампа из второй партии?

Решение

По условию задачи: Р() = 0,7; Р() = 0,8; Р() = 0,9.

По формуле полной вероятности: Р(А) = Находим:

Р(А) = Р(В1)· Р() + Р(В2)· Р() + Р(В3)· Р() =

=0,4*0,7+0,35*0,8+0,25*0,9=0,28+0,28+0,225=0,785

Из условия задачи известно, что наудачу выбранная радиолампа проработала заданное время, т. е. событие А уже произошло. Теперь вычислим вероятность гипотезы В2 при условии, что событие А произошло.

По формуле Байеса Р() = находим:

Р() = =

Ответ: Р()»0,357

7. В команде 16 спортсменов, из которых 6 перворазрядников. Наудачу выбирают двух спортсменов. Построить ряд распределения случайной величины – числа перворазрядников среди выбранных.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 15

1. Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями: .

Решение

Изобразим данную область

Пересечение данных линий ограничивают данную область.

Тогда выражая двойной интеграл через повторный, получаем

Ответ:

2. Вычислить криволинейный интеграл по параболе от точки (0; 0) до точки (1; 1).

Решение

По формуле .

Ответ:

3. Исследовать числовые ряды на сходимость и указать применяемые признаки:

А) ; б) .

4. Найти область и радиус сходимости степенного ряда .

Решение

Найдём интервал сходимости ряда

Тогда или .

Ряд сходится на интервале Абсолютно.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

При x=3 получим ряд . Данный ряд знакочередующийся. Исследуем данный ряд на абсолютную сходимость - ряд расходится как гармонический (воспользуемся вторым признаком сравнения: , , . Следовательно и сходятся или расходятся одновременно, а так как ряд расходится как гармонический – то расходится и ряд )

Следовательно ряд Не сходится абсолютно. Ряд сходится условно по признаку Лейбница и .

При х=1 получим ряд - мы убедились выше, этот ряд расходится.

Имеем интервал абсолютной сходимости ряда: . В т. х=3 ряд сходится условно

5. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором ящике 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?

Решение

Найдём вероятность вынуть белый шар из первого ящика:

Всего в 1 ящике 12 шаров. Общее число случаев 1 шар из 12

Благоприятное число случаев – выбрать белый шар из 2х имеющихся в ящике .

Тогда по формуле классического определения вероятности. искомая вероятность

Найдём вероятность вынуть белый шар из второго ящика:

Всего во 2 ящике 12 шаров. Общее число случаев 1 шар из 12

Благоприятное число случаев – выбрать белый шар из 8х имеющихся в ящике .

Тогда по формуле классического определения вероятности искомая вероятность

Так как события вынуть белый шар из первого ящика и вынуть белый шар из второго ящика независимы, то вероятность что оба шара белые найдём по правилу умножения вероятностей независимых событий, то есть

Ответ:

6. Из 1000 ламп 590 принадлежат I партии, 200 – II, остальные – III партии. В I партии 6% бракованных ламп, во II – 5%, в III – 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Какова вероятность, что она бракованная?

Решение

Н1 – лампа принадлежит 1-й партии.

Н2 - лампа принадлежит 2-й партии.

Н3 - лампа принадлежит 3-й партии.

Найдём количество ламп в 3й партии: 1000-590-200=210

Тогда Р(Н1) =0,59 ; Р(Н2) = 0,2 ; Р(Н3) = 0,21 (По формуле классического определения вероятности, всего ламп 1000)

А – выбранная лампа бракованная.

По условию , ,

По формуле полной вероятности

Тогда

Ответ: Р(А) = 0,0538

7. Независимо испытываются на надежность три прибора. Вероятности выхода из строя каждого прибора одинаковы и равны 0,3. Построить ряд распределения случайной величины – числа вышедших из строя приборов.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 16

1. Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями: .

Решение

Изобразим данную область

Пересечение данных линий ограничивают данную область.

Тогда выражая двойной интеграл через повторный, получаем

Ответ:

2. Вычислить криволинейный интеграл по дуге синусоиды от до .

Решение

По формуле .

На отрезке АВ . Подставляя в подынтегральную функцию вместо у его выражение через х () и замечая, что при перемещении от А к В х меняется от до 0, получаем

Ответ:

3. Исследовать числовые ряды на сходимость и указать применяемые признаки:

А) ; б) .

4. Найти область и радиус сходимости степенного ряда .

Решение

Найдём интервал сходимости ряда

Тогда или

Ряд сходится на интервале (-2;0) абсолютно.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

При x=-2 получим ряд . Проверим выполнение необходимого условия сходимости ряда . В нашем случае - следовательно не выполняется необходимое условие сходимости ряда – ряд расходится.

При х=0 получим ряд - мы убедились выше, этот ряд расходится.

Имеем интервал абсолютной сходимости ряда: .

5. Из 40 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, курсант знает 30. Найти вероятность того, что среди трех наугад выбранных вопросов курсант знает 2 вопроса.

Решение

Общее число вариантов вытянуть 3 вопроса из 40

Благоприятное число случаев – число случаев вынуть 2 вопроса из 30 известных и один вопрос из 10 неизвестных .

Тогда по формуле классического определения вероятности. искомая вероятность

Ответ:

6. В торговую сеть поставляются телевизоры тремя фирмами в соотношении 3 : 2 : 5. Телевизоры, поступающие от этих фирм, не требуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 96 %, 92% и 94% случаев. Наудачу купленный телевизор не потребовал ремонта в течение гарантийного срока. Какова вероятность того, что он с первого завода?

Решение

Пусть событие А состоит в том, что купленный телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока. Пусть гипотезы В1, В2, В3 означают соответственно, что купленный телевизор изготавливалась 1-й, 2-й, 3-й фирмой соответственно. По формуле классического определения вероятности: Р(В1) = 0,3; Р(В2) = 0,2; Р(В3) = 0,5.

По условию задачи: Р() = 0,96; Р() = 0,92; Р() = 0,94.

По формуле полной вероятности: Р(А) = Находим:

Р(А) = Р(В1)· Р() + Р(В2)· Р() + Р(В3)· Р() =

=0,3*0,96+0,2*0,92+0,5*0,94=0,288+0,184+0,47=0,942.

Из условия задачи известно, что купленный телевизор не потребовал ремонта в течение гарантийного срока, т. е. событие А уже произошло. Теперь вычислим вероятность гипотезы В1 при условии, что событие А произошло.

По формуле Байеса Р() = находим:

Р() = .

Ответ: Р()=

7. В урне 9 шаров, из которых 5 белых, остальные – черные. Наудачу вынимают три шара. Составить закон распределения случайной величины – числа черных шаров в выборке.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 17

1. Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями: х = 1, у = 0, х2 + 2= 0.

Решение

Изобразим данную область

Данные линии не ограничивают области, так как линия х2 + 2= 0 в действительной плоскости не имеет точек.

2. Вычислить криволинейный интеграл по кривой от точки (0; 0) до точки (1; 1).

3. Исследовать числовые ряды на сходимость и указать применяемые признаки:

А) ; б) .

4. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение

Найдём интервал сходимости ряда

Тогда или

Ряд сходится на интервале (-1;1) абсолютно.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

При х=1 получим ряд - мы убедились выше, этот ряд расходится.

Имеем интервал абсолютной сходимости ряда: .

5. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго – 0,8, для третьего – 0,9. Определить вероятность того, что в цель попадает хотя бы один стрелок.

Решение

Вероятность того, что в цель не попадёт первый стрелок , второй - , третий - . Так как данные события независимы, то по теореме умножения вероятностей независимых событий, вероятность того, что в цель не попадёт ни один стрелок . Вероятность того, что в цель попадёт хотя бы один стрелок противоположна вероятности . То есть, искомая вероятность

Ответ:

6. Имеется три партии ламп по 25, 30, 45 штук в каждой соответственно. Вероятность того, что лампы проработают заданное время, равна для каждой партии соответственно 0,7, 0,8 и 0,9. Какова вероятность того, что выбранная наудачу лампа из ста данных ламп проработает заданное время?

Решение

По условию задачи: Р() = 0,7; Р() = 0,8; Р() = 0,9.

По формуле полной вероятности: Р(А) = Находим:

Р(А) = Р(В1)· Р() + Р(В2)· Р() + Р(В3)· Р() =

=0,25*0,7+0,3*0,8+0,45*0,9=0,175+0,24+0,405=0,82

Ответ: Р(А)=0,82

7. Случайная величина Х распределена следующим образом:

Х	1	2	3	4
Р	0,3	0,25	0,4	0,05

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Решение

Найдем математическое ожидание случайной величины X. Используя формулу , получим

Вычислим дисперсию. По формуле имеем:

Ответ: ,

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 18

1. Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями: .

Решение

Изобразим данную область

Пересечение данных линий ограничивают 2 области. Будем искать интеграл от области при .

Тогда выражая двойной интеграл через повторный, получаем

Ответ:

2. Вычислить криволинейный интеграл , если L – отрезок прямой , заключенный между точками (0;-2) и (4;0).

Решение

Отрезок прямой АВ лежит в плоскости Оху, на нем задана функция f(х, у)=. Уравнение прямой АВ имеет вид . Так как , то .

По формуле Получаем

Ответ:

3. Исследовать числовые ряды на сходимость и указать применяемые признаки:

А) ; б) .

4. Найти область и радиус сходимости степенного ряда .

Решение

Найдём интервал сходимости ряда

Тогда , или .

Ряд сходится на интервале Абсолютно.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

При х=6 получим ряд - мы убедились выше, этот ряд расходится.

Имеем интервал абсолютной сходимости ряда:

5. В группе 11 девушек и 15 юношей. Наудачу вызываются 3 человека. Определить вероятность того, что вызванными окажутся 2 юноши и 1 девушка.

Решение

Всего в группе 26 человек. Общее число случаев вызвать 3х человек из 26

Благоприятное число случаев – вызвать 2 юношей из 15 и 1 девушку из 11 .

Тогда по формуле классического определения вероятности. искомая вероятность

Ответ:

6. Военный корабль может пройти вдоль пролива шириной 1 км с минным заграждением в любом месте. Вероятность его подрыва на мине в правой части заграждения шириной 300 метров равна 0,2, а на остальной части – 0,7. Найти вероятность того, что корабль благополучно пройдет залив.

7. Случайная величина Х распределена следующим образом:

Х	-2	1	2	3
Р	0,34	0,4	0,06	0,2

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Решение

Найдем математическое ожидание случайной величины X. Используя формулу , получим

Вычислим дисперсию. По формуле имеем:

Ответ: ,

< Предыдущая		Следующая >