Экономико-математические методы
Задача 1
Нефтяная компания строит новый нефтеперерабатывающий завод для производства 4 видов продуктов: дизельное топливо, бензин, смазочные материалы и авиационное топливо. Спрос на эти виды продукции составляет соответственно 14, 30, 10 и 8 тысяч баррелей в день. Компания заключила контракты с Ираном и Россией на поставку сырой нефти танкерами. Поскольку объем добычи нефти квотируется решениями Организации стран-экспортеров нефти, компания рассчитывает, что не менее 30% нефти она будет получать из Ирана, а остальное - из России. Компания также прогнозирует, что в ближайшие 10 лет спрос на ее продукцию и квоты на сырую нефть останутся неизменными. Нефть, поставляемая из Ирана и России, отличается своими качествами. Из одного барреля бензина иранской нефти можно произвести 0,2 барреля дизельного топлива, 0,25 барреля бензина, 0,1 барреля смазочных материалов и 0,15 барреля авиационного топлива. Соответствующие числа для нефти из России составляют 0,1, 0,6, 0,15 и 0,1. Компании необходимо определить минимальную загрузку сырой нефтью своего нового нефтеперегонного завода.
Решение данной задачи будем производить с помощью обычных линейных уравнений.
Пусть:
X - количество нефти для производства дизельного топлива;
Y - Количество нефти для производства бензина;
Z - Количество нефти для производства смазочных материалов;
A - количество нефти для производства авиационного топлива.
Тогда количество произведенных продуктов составит:
Дизельного топлива:
0,3*0,2*х+0,7*0,1*х=14 000
Бензина:
0,3*0,25*у+0,7*0,6*у=30000
Смазочных материалов:
0,3*0,1*z+ 0,7*0,15*z=10000
Авиационного топлива:
0,3*0,15*а+0,7*0,1а=8000
Рассчитаем количество нефти для каждого продукта:
Дизельного топлива:
0,3*0,2*х+0,7*0,1*х=14 000
0,13х=14000
Х= 14000/0,13
Х=107692,3 барр.
Бензина:
0,3*0,25*у+0,7*0,6*у=30000
0,5у=30000
У=60000 барр.
Смазочных материалов:
0,3*0,1*z+ 0,7*0,15*z=10000
0,14z=10000
Z=71428,58
Авиационного топлива:
0,3*0,15*а+0,7*0,1а=8000
0,12а=8000
А= 66666,7 барр.
Общее количество нефти, необходимое для нефтеперегонного завода составит:
107692,13+60000+71428,58+66666,7=305787,41 барр.
Задача 2
Три электрогенерирующие станции мощностью 25, 40 и 30 миллионов кВт/ч поставляют электроэнергию в три города. Максимальная потребность в электроэнергии этих городов оценивается в 30, 35 и 25 миллионов кВт/ч. Цены за миллион кВт/ч в данных городах показаны в табл.1.
Таблица 1
В августе на 20% возрастает потребность в электроэнергии в каждом из трех городов. Недостаток электроэнергии города могут восполнить из другой электросети по цене 1000 рублей за 1 миллион кВт/ч. К сожалению, третий город не может подключиться к альтернативной электросети.
Электрогенерирующие станции планируют разработать наиболее экономичный план распределения электроэнергии и восполнения ее недостатка в августе. Сформулируйте задачу в виде транспортной модели. Определите оптимальный план распределения электроэнергии электрогенерирующими станциями. Определите стоимость дополнительной электроэнергии для каждого из этих городов.
Решение:
Изобразим матричную запись задачи (табл. 2):
Таблица 2
А – станция
В - город
Так как в августе потребность в энергии возрастет, то количество электроэнергии, необходимое каждому городу составит:
1 город - 30+20%=36 млн. кВт/ч
2 город - 35+20%= 42 млн. кВт/ч
3 город - 25+20%=30 кВт/ч
Оптимальное распределение энергии найдем с помощью таблица EXEL.
Создадим в окне программы Ms Excel 2 матрицы «План распределения энергии» и «Стоимость энергии», (табл.3 и 4).
Таблица 3
Таблица 4
В ячейки, которые должны отображать запасы поставщиков и потребности потребителей в матрице «План перевозок» вводим формулы, суммирующие значения всех возможных поставок данных поставщиков и потребителей, например: B4=СУММ(C4:Е4), C3=СУММ(C4:C6).
В ячейку целевой функции (N6) введем =СУММПРОИЗВ(C4:E6;I4:L6).
Задача решается при помощи меню Сервис, пункт Поиск решения.
В диалоговом окне «Поиск решения» установим все необходимые ограничения и ссылки на необходимые ячейки. Далее нажмем кнопку «Выполнить». Результат операции представлен в таблице 5.
Таблица 5
В целевой ячейке получается результат - 44190 руб
В результате решения получается, что во 2-м городе будет недостаток энергии в количестве 8 млн. кВТ/час. Значит, второй город необходимо подключить к дополнительному источнику энергии.
Стоимость дополнительной энергии будет составлять 8000 руб. (8 млн. кВт/ч*1000 руб = 8000 руб).
Задача 3
Допустим, что Вы часто ездите между двумя городами. При этом есть возможность выбрать один из двух маршрутов: маршрут А представляет собой скоростное шоссе в четыре полосы, а маршрут В - длинную обдуваемую ветром дорогу. Патрулирование дорог осуществляется ограниченным числом работников ГАИ. Если все сотрудники ГАИ расположены на одном маршруте, Вы с вашим страстным желанием ездить очень быстро, несомненно, получите штраф в 500 рублей за превышение скорости. Если сотрудники ГАИ патрулируют на двух маршрутах в соотношении 50 на 50, то имеется 50%-ная вероятность, что Вы получите штраф в 500 рублей на маршруте А и 30%-ная вероятность, что такой же штраф получите на маршруте В. Кроме того, маршрут В длиннее, поэтому бензина расходуется на 200 рублей больше, чем на маршруте А. Сформулируйте ситуацию в виде игры. Найдите оптимальные стратегии и для Вас и для сотрудников ГАИ.
Решение:
Составим матрицу моих затрат по каждому варианту движения.(Таблица 6)
Таблица 6
Пояснение к матрице:
Если я буду ехать по маршруту А и на этом маршруте будет ГАИ, то мои затраты составят 500 рублей штрафа.
Если я буду ехать по маршруту А, а ГАИ инспекторы ГАИ будут на маршруте В, то мио затраты равны 0.
Если я буду ехать по маршруту А, а инспекторы ГАИ будут и на А и на В, то мои затраты составят 250 руб (500*50%).
Если я буду ехать по маршруту В, а инспекторы ГАИ будут стоять на маршруте А, то мои затраты составят 200 руб (стоимость дополнительного бензина)
Если я буду ехать по маршруту В, и инспекторы ГАИ будут стоять на маршруте В, то мои затраты составят 750 руб (200+500= 750).
Если я буду ехать по маршруту В, а инспекторы ГАИ будут стоять и на А, и на В, то мои затраты составят 350 руб (200+500*30% = 350 )
Выберем по каждой строке таблицы максимальное из чисел 
, минимальное 
.
A = max (a1, a2,,) = max (0,200) = 200
B = min (b1, b2, b3) = min (500,750) = 500
Мои расходы должны колебаться в пределах от 200 до 500 рублей.
Наиболее оптимальным для меня будет маршрут А, а для инспекторов ГАИ – маршрут А и АВ.
Задача 4
Проанализируйте описанную ниже ситуацию и опишите ее с помощью моделей массового обслуживания. Определите элементы систем: «клиентов», сервисы, дисциплину очереди, время обслуживания, максимальную длину очереди, а также источник «клиентов».
В мастерскую поступают заказы на выполнение работ. При их приемке диспетчер указывает, является заказ срочным или обычным. Для выполнения некоторых заказов требуется использовать один из нескольких одинаковых станков, которыми располагает мастерская. Остальные заказы выполняются на двухэтапной производственной линии; их в мастерской имеется две. В каждой из двух групп оборудования мастерской один станок предназначается для выполнения срочных работ.
Решение:
При аналитическом исследовании СМО чаще всего предполагают, что входящий поток (Клиенты) – простейший поток событий интенсивности L. Часто заявку отождествляют с ее материальным носителем : поток приборов, агрегатов, машин, поступающих на ремонт; поток отчетов, поступающей в вычислительный центр и так далее
Обслуживающий прибор (Сервис) – это материальный объект или совокупность объектов, одновременно участвующих в обслуживании заявки. В каждый момент времени прибор может обслуживать только одну заявку.
Основным параметром обслуживающего прибора является среднее время обслуживания одной заявки 
или производительность прибора
.
Под временем обслуживания Tобсл всегда будем понимать время от момента начала обслуживания заявки до момента готовности прибора к обслуживанию очередной заявки.
При аналитическом исследовании СМО обычно полагают, что Tобсл – случайная величина, распределенная по показательному закону, то есть
.
Таким образом, каждый обслуживающий прибор при непрерывной работе порождает поток обслуженных заявок интенсивности M.
Отсутствие последействия в данном случае означает, что вероятность завершения обслуживания заявки в любой момент времени не зависит от того, сколько времени оно уже продолжалось.
Обобщенная схема СМО изображена на рис. 1, где. сплошной стрелкой показан входящий поток, кружками – заявки, ожидающие обслуживания в очереди, а штриховыми стрелками – возможные пути движения заявок. В этой системе все обслуживающие приборы (П1, П2.,. . ., ПN.) выполняют однородные операции обслуживания и работают параллельно. Заявка считается обслуженной системой, если она обслужена одним из ее приборов.
Рисунок 1. Обобщенная схема СМО
Дисциплина обслуживания – это совокупность правил поведения заявки от момента ее поступления в систему до момента прекращения обслуживания. К основным правилам обслуживания относятся: выбор свободного прибора, назначение очередной заявки на обслуживание и дисциплина очереди.
Дисциплина очереди Определяет, в каких случаях заявка становится в очередь и когда она покидает систему, и задается в виде ограничений, накладываемых на параметры СМО: Длина очереди (максимально допустимое число заявок в очереди Т), время ожидания заявки в очереди Tож или время пребывания заявки в системе Tc(Tc= Tож+Tобсл).
Список литературы
1. Абрютина М. С. Грачев А. В. Экономико-математические методы. Учебно-практическое пособие. – М.: «Дело и сервис», 1998- 374 с.
2. Авдей А. Н. Анализ данных в Excel: под ред. Проф. А. А. Прихожего. – Мн.: БГПА, 2000- 415 с.
3. Гончаров Е. Н., Ерзин А. И., Залюбовский В. В. Исследование операций. Примеры и задачи: Учеб. Пособие / Новосиб. Гос. ун-т. Новосибирск, 2005. 78с.
4. Грищенко О. В. Математические методы в экономике. Теория игр. Учебное пособие. – Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000- 175 с.
5. Ермаков В. И. Сборник задач по высшей математике для экономистов. – М.: Издательство Инфра, 2001, 574с.
6. Завьялова З. М. Теория игр и ее применения. – М.: Инфра-М, 2002- 215 с.
7. Красс М. С., Чупрынов Б. П. ”Основы математики и ее приложения в экономическом образовании”, Издательство “Дело”, Москва 2001г.-185 с.
8. Кузнецов А. В., Сакович В. А., Холод Н. И. ”Высшая математика. Математическое программирование ”, Минск, Вышейшая школа, 2001г.- 358 с.
9. Павлова Т. Н., Ракова О. А. Линейное программирование. Учебное пособие. – Димитровград, 2002- 275 с.
10. Павлова Т. Н., Ракова О. А. Решение задач линейного программирования средствами Excel. Учебное пособие. – Димитровград, 2002- 256 с.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
