Двойные интегралы, векторные поля
Вариант 13
Вычислить криволинейные интегралы:
1. , где - отрезок прямой ОВ; О(0;0;0); В(-2;4;5)
Сначала составим уравнение прямой OB.
Введем параметр T: и перепишем уравнение прямой в параметрической форме:
Далее применяем формулу
Очевидно, что параметр T изменяется в интервале [0,1]. Тогда криволинейный интеграл равен
Ответ:
2. , где - дуга кривой ,
Так как кривая L задана в полярной системе координат, то для вычисления криволинейного интеграла следует использовать формулу
.
В силу того, что
,
Имеем
Ответ:
3. , где - окружность .
Решение
Перейдем к полярным координатам: Уравнение кривой примет вид
Для вычисления интеграла применим формулу .
Так как
то
Ответ:
4. , где - верхняя половина эллипса ., «пробегаемая» по ходу часовой стрелки.
Решение
По формуле
.
Имеем
, , ,, , , , .
Тогда
.
Ответ:
5. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции . Найти функцию . .
Решение
P(X;Y)= , Q(X;Y)=, = , = =.
Так как P, Q, , непрерывны и =, то данное выражение является полным дифференциалом некоторой функции F(X;Y) и
В качестве (X0;Y0) можно брать любую точку из области непрерывности функций P, Q, , , поэтому возьмем (0;0).
Ответ:
6. Вычислить массу отрезка прямой , заключённого между координатными осями, если линейная плотность в каждой его точке пропорциональна квадрату абсциссы в этой точке, а в точке равна 4.
Решение
Так как линейная плотность в каждой точке пропорциональна квадрату абсциссы в этой точке, а в точке равна 4, то
По формуле для массы Для вычисления интеграла воспользуемся формулой .
Так как то
Ответ:
1. Дана функция и точки , . Вычислить: 1) производную этой функции в точке по направлению ; 2)
Решение
Найдём направляющие косинусы вектора . Его длина . Следовательно , ,
Вычисляем частные производные функции в точке
, ,
Тогда по формуле
Градиент скалярного поля U есть вектор GradU, направленный по нормали к поверхности уровня поля в сторону возрастания поля и численно равный наибольшей производной по направлению
Он вычисляется по формуле .
В нашем случае , ,
Тогда ,
2. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по поверхности S, где S – часть плоскости , отсеченная координатными плоскостями.
Решение
Данная поверхность S представляет собой часть плоскости , расположенную в первом октанте.
Запишем уравнение плоскости в виде . Тогда , .
Используя формулу , имеем
Ответ:
3. Вычислить поверхностный интеграл второго рода , где S – часть поверхности параболоида (нормальный вектор n которой образует тупой угол с ортом k), отсекаемая плоскостью z=2.
Решение
Поверхность S является частью параболоида , отсеченной плоскостью . Поверхность S однозначно проецируется на плоскость в область ― круг радиуса с центром в начале координат. Уравнение окружности , которая является границей .
Поэтому, получаем
Ответ:
4. Вычислить поток векторного поля через внешнюю сторону пирамиды, образуемою плоскостью и координатными плоскостями, двумя способами: а) использовав определение потока; б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса. , :
Решение
При вычислении потока данного примера рассмотрим сумму потоков, т. к. поверхность состоит из четырех частей.
Где – соответственно нормали к поверхностям и .
Будем вычислять каждый из слагаемых интегралов отдельно. В первом интеграле взаимно однозначно проектируется, например, на плоскость , а уравнение его плоскости .
Принимая ,
Найдем единичный вектор нормали к этой плоскости .
Здесь , что и соответствует нормали к внешней стороне треугольника. После этого находим
Тогда
Во втором интервале , и
.
В третьем интеграле и .
В четвертом интеграле и
Окончательно получаем .
Решим задачу с помощью теоремы Остроградского:
Поэтому
Где – объем пирамиды .
Ответ:
5. Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости : с координатными плоскостями, при положительном направлении обхода относительно нормального вектора этой плоскости двумя способами: 1) использовав определение циркуляции; 2) с помощью формулы Стокса , :
Решение
В результате пересечения плоскости с координатными плоскостями получим треугольник и укажем на нем положительное направление обхода контура .
1. Вычислим циркуляцию данного поля по формуле:
На отрезке имеем: , , ,.
,, ,
На отрезке , , , ,
,, ,
На отрезке , , , ,
Следовательно,
2. Вычислим циркуляцию данного поля с помощью формулы Стокса. Для этого вычислим:
В качестве поверхности в формуле Стокса возьмем боковую поверхность пирамиды : .
По формуле Стокса имеем: ,
Где ,
Следовательно, .
Ответ:
6. Найти величину и направление наибольшего изменения функции в точке .
Решение
Находим частные производные функции в любой точке и в точке : , ,
, .
Тогда в точке имеем . Наибольшая скорость изменения поля в точке достигается в направлении :
.
7. Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля в точке .
Решение
Модуль ротора векторного поля равен максимальному значению поверхностной плотности циркуляции векторного поля. По формуле:
Тогда
Тогда в т. ,
Ответ:
8. Выяснить, является ли векторное поле потенциальным.
Решение
Поле является потенциальным, если выполнены следующие условия:
В нашем случае
Следовательно, поле потенциальное.
< Предыдущая | Следующая > |
---|