Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home

Дискретная математика 7

PDF Печать E-mail

Контрольная работа

2) В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц в Интернете.

Запрос

Найдено страниц (тыс.)

Шереметьево и Домодедово

100n (600)

Домодедово и Внуково

50m (600)

Шереметьево и Домодедово и Внуково

20k (100)

Какое число страниц (тыс.) будет найдено по запросу:

(Шереметьево и Домодедово) или (Домодедово и Внуково)

Решение:

(Шереметьево и Домодедово) или (Домодедово и Внуково) =

=

Ответ: по данному запросу будет найдено 1100 тыс. страниц.

  II.  Теория графов

1)  Задан неориентированный граф без петель из пяти вершин строками матрицы смежности в виде шестнадцатеричного числа, первая цифра – первая строка, вторая – вторая строка и т. д. Изобразите соответствующий граф и определите степени всех вершин. Постройте матрицу инциденций.

Решение:

Вариант задания – последняя цифра в номере зачетной книжки.

Вариант – 5.

Данное шестнадцатеричное число –D43116

Переведем каждую цифру шестнадцатеричного числа в двоичную систему счисления:

D16 = 11012 – 1 строка,

416 = 01002 – 2 строка,

316 = 00112 – 3 строка,

116 = 00012 – 4 строка.

Матрицей смежности ребер неориентированного графа G называется квадратная матрица A*(G) = [a*ij] порядка q, элементы a*ij которой равны единице, если ребра и смежны, и нулю – в противном случае.

Так как в условии сказано, что граф не содержит в себе петель, то элементы диагонали в матрице смежности будут нули.

Так как в условии сказано, что граф неориентированный, то воспользуемся еще одной особенностью матрицы смежности – симметричностью относительно главной диагонали.

Таким образом, получим матрицу смежности:

Построим граф:

Степени вершин:

D(a) = 3; d(b) = 2; d(c) = 4;

D(d) = 2; d(f) = 3.

Построим матрицу инциденций.

Матрицей инцидентности (инциденций) неориентированного графа называется матрица i (|v| \times |e|), для которой i_{i,j} = 1, если вершина v_i инцидентна ребру e_j, в противном случае i_{i,j} = 0.

Инцидентность – отношение между ребром и его концевыми вершинами, т. е. если в графе g = (v,e), u \in v, v \in v — вершины, а e \in e, e = (u,v) — соединяющее их ребро, то вершина u и ребро e инцидентны, вершина v и ребро e также инцидентны.

Итак, матрица инциденций примет вид:

2) Построить взвешенный (веса устанавливаются произвольно) ориентированный граф с 5-ю вершинами так, чтобы существовал эйлеров цикл. Найти кратчайшие маршруты, соединяющие все вершины.

Решение:

Эйлеровым путем в графе называется путь, проходящий по всем ребрам графа ровно по разу. Эйлеровым циклом называется такой тип эйлерова пути, в котором начальная и конечная вершины совпадают (то есть, здесь образуется цикл и в нем начальной вершиной Можно считать любую).

Построим граф.

Чтобы в конечном ориентированном графе существовал Эйлеров цикл, необходимо и достаточно равенство степеней вершин этого графа по входящим и выходящим ребрам.

Это условие выполняется, следовательно, в построенном графе есть эйлеров цикл.

Найдем кратчайшие маршруты, соединяющие все вершины.

Минимальное количество ребер, соединяющих 5 вершины графа равно 4. Значит, найдем все возможные маршруты, состоящие из 4-х ребер.

III.  Деревья

1) Имеется K Городов, которые нужно объединить в единую телефонную сеть. Для этого достаточно проложить (K-1) телефонных линий между городами. Как соединить города так, чтобы суммарная стоимость соединений (телефонного кабеля) была минимальна?

Примечание: Использовать алгоритм поиска минимального остовного дерева (Прима, Крускала или др.). Выбранный алгоритм представить.

Решение:

Построим граф, состоящий из 5 вершин (городов) и ребер с весами (дорогами между данными городами с расстоянием между ними).

Воспользуемся алгоритмом Краскала.

Вход: связный взвешенный граф (G, φ) с неотрицательными весами.

Выход: список T ребер каркаса минимального веса в G.

1. Положить ; выписать все ребра из G в список S по возрастанию веса.

2. Выбрать в S ребро e минимального веса и удалить из S.

3. Если e не образует цикла с ребрами из T, добавить e в T.

4. Если список S не пуст, вернуться на шаг 2.

Положим . Упорядоченный список ребер выглядит так:

(v1,v5), (v4,v5), (v1,v4), (v2,v3), (v1,v2), (v3,v5), (v2,v4), (v1,v3) , (v2,v5), (v3,v4).

Действуя по алгоритму, последовательно поместим в T ребра: (v1,v5) и (v4,v5). На следующем шаге из списка будет взято ребро (v1,v4); оно образует с ранее выбранными ребрами цикл v1 → v4 → v5, и не добавляется в T. На двух следующих шагах в T будут добавлены ребра (v2,v3), (v1,v2), после чего в T окажется требуемое для каркаса число ребер (4) и алгоритм можно будет остановить. В результате получим каркас исходного графа, который и является каркасом наименьшего веса (16) в исходном графе.

(v1,v5), (v4,v5), (v2,v3), (v1,v2).

Значит, именно таким образом нужно соединить города, чтобы суммарная стоимость соединений (телефонного кабеля) была минимальна.

IV.  Комбинаторика

1) Сколькими способами можно переставить буквы в вашей фамилии (учитывая, что буквы могут повторяться)?

Решение:

Так как в моей фамилии повторяющихся букв нет, то применим формулу перестановок без повторений:

Ответ: в моей фамилии можно переставить буквы 120 способами.

2) На плоскости расположены k+n точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых можно провести через эти точки?

Решение:

k + n = 11;

Так как прямую однозначно можно провести только через две точки, то: .

Ответ: Через данные одиннадцать точек можно провести 55 различных прямых.

 
Яндекс.Метрика
Наверх