Диффуры вариант 10
Задача 1
Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения.
Данное дифференциальное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными.
Запишем исходное уравнение в виде
.
Переменные разделены. Интегрируем дифференциалы в обеих частях, имея в виду, что :
,
Вычислим интегралы, и найдем общее решение дифференциального уравнения:
1) ,
2),
откуда получаем
- общий интеграл дифференциального уравнения
Ответ:
Задача 2
Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения.
Решение
Данное дифференциальное уравнение – однородное.
Здесь функции и однородные, второй степени.
Полагаем . Тогда . Подставляя в уравнение, получим:
или .
Тогда . Решаем это уравнение с разделяющимися переменными:
Вычислим интегралы, и найдем общее решение дифференциального уравнения:
1)
2)
Имеем: .
Возвращаясь к старой переменной , получим:
.
Кроме того, имеется решение , которое было потеряно при делении на .
Ответ:
Задача 3
Найти решение задачи Коши.
,
Решение
Данное дифференциальное уравнение – обобщенное однородное.
Если считать, что х и dx величины первого измерения, а у и dy – измерения q=-1, то исходное уравнение можно отнести к обобщенному однородному дифференциальному уравнению. Воспользуемся заменой, , тогда
или
Решаем это уравнение с разделяющимися переменными:
.
Сделаем обратную подстановку
или
Так как, по условию, , то . Следовательно,
Окончательно имеем
Ответ:
Задача 4
Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения второго (третьего) порядка.
Решение
Данное дифференциальное уравнение - уравнения, допускающие понижение порядка.
В это уравнение не входит , следовательно, полагаем Тогда . Подставляя в исходное уравнение, получим или , Тогда:
Решаем это уравнение с разделяющимися переменными:
Вычислим интегралы, и найдем общее решение дифференциального уравнения:
1)
2)
Имеем: или , тогда
Обратная подстановка: или . Тогда или .
Разделим переменные: . Имеем:
То есть, окончательно
Ответ:
Задача 5
Найти общее решение уравнения , используя характеристическое уравнение и метод вариации произвольных постоянных
, ,
Решение
Имеем дифференциальное уравнение: . Его характеристическое уравнение имеет корни . Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид: . Общее решение неоднородного уравнения запишем в виде: , где «варьированные» постоянные и найдутся по формулам:
, ,
в нашем случае , , . Тогда:
, ,
перед вычислением интегралов необходимо найти явный вид Вронскиана W. Имеем:
.
Тогда вид интегралов упрощается
, ,
Найдём эти интегралы:
В результате искомое общее решение неоднородного дифференциального уравнения принимает вид:
Окончательно:
Ответ:
Задача 6
Операторным методом найти решение задачи Коши.
Для нечётных вариантов: , , .
Для чётных вариантов: , , .
, ,
Решение
Так как вариант чётный, то получим задание:, , .
Переходим к изображению:
или
Разложим рациональную дробь на простейшие
Приравняем числители
Таким образом
Переходим к оригиналу
Ответ:
Задача 7
Решить задачу Коши для системы уравнений
с начальными условиями ,
двумя способами: методом исключения неизвестных и операторным методом.
, , , , ,
Решение
В нашем случае имеем систему:
с начальными условиями ,
а) Метод исключения неизвестных.
Продифференцируем по t первое уравнение
Исключая с помощью второго уравнения и с помощью первого уравнения системы, получим
, ,
Таким образом, задача свелась к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Характеристическое уравнение имеет корни и . Следовательно, общее решение для х будет . Подставляя х в первое уравнение, находим общее решение для у
Для определения произвольных постоянных воспользуемся начальными условиями. При t=0 , тогда , при t=0, тогда .
Имеем систему:
Следовательно, ,
Тогда частное решение имеет вид:
а) Операторный метод.
Перейдя к изображениям, получим
или
Решаем эту систему относительно ,
,
или разлогая рациональные дроби на простейшие
,
Переходя к оригиналу, окончательно получим
Ответ:
< Предыдущая | Следующая > |
---|