Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home

Диффуры вариант 10

PDF Печать E-mail

Задача 1

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения.

Решение

Данное дифференциальное уравнениеуравнение с разделяющимися переменными.

Запишем исходное уравнение в виде

.

Переменные разделены. Интегрируем дифференциалы в обеих частях, имея в виду, что :

,

Вычислим интегралы, и найдем общее решение дифференциального уравнения:

1) ,

2),

откуда получаем

- общий интеграл дифференциального уравнения

Ответ:

 

Задача 2

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения.

Решение

Данное дифференциальное уравнениеоднородное.

Здесь функции и однородные, второй степени.

Полагаем . Тогда . Подставляя в уравнение, получим:

или .

Тогда . Решаем это уравнение с разделяющимися переменными:

Вычислим интегралы, и найдем общее решение дифференциального уравнения:

1)

2)

Имеем: .

Возвращаясь к старой переменной , получим:

.

Кроме того, имеется решение , которое было потеряно при делении на .

Ответ:

 

Задача 3

Найти решение задачи Коши.

,

Решение

Данное дифференциальное уравнениеобобщенное однородное.

Если считать, что х и dx величины первого измерения, а у и dyизмерения q=-1, то исходное уравнение можно отнести к обобщенному однородному дифференциальному уравнению. Воспользуемся заменой, , тогда

или

Решаем это уравнение с разделяющимися переменными:

.

Сделаем обратную подстановку

или

Так как, по условию, , то . Следовательно,

Окончательно имеем

Ответ:

 

Задача 4

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения второго (третьего) порядка.

Решение

Данное дифференциальное уравнение - уравнения, допускающие понижение порядка.

В это уравнение не входит , следовательно, полагаем Тогда . Подставляя в исходное уравнение, получим или , Тогда:

Решаем это уравнение с разделяющимися переменными:

Вычислим интегралы, и найдем общее решение дифференциального уравнения:

1)

2)

Имеем: или , тогда

Обратная подстановка: или . Тогда или .

Разделим переменные: . Имеем:

То есть, окончательно

Ответ:

 

Задача 5

Найти общее решение уравнения , используя характеристическое уравнение и метод вариации произвольных постоянных

, ,

Решение

Имеем дифференциальное уравнение: . Его характеристическое уравнение имеет корни . Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид: . Общее решение неоднородного уравнения запишем в виде: , где «варьированные» постоянные и найдутся по формулам:

, ,

в нашем случае , , . Тогда:

, ,

перед вычислением интегралов необходимо найти явный вид Вронскиана W. Имеем:

.

Тогда вид интегралов упрощается

, ,

Найдём эти интегралы:

В результате искомое общее решение неоднородного дифференциального уравнения принимает вид:

Окончательно:

Ответ:

 

Задача 6

Операторным методом найти решение задачи Коши.

Для нечётных вариантов: , , .

Для чётных вариантов: , , .

, ,

Решение

Так как вариант чётный, то получим задание:, , .

Переходим к изображению:

или

Разложим рациональную дробь на простейшие

Приравняем числители

Таким образом

Переходим к оригиналу

Ответ:

 

Задача 7

Решить задачу Коши для системы уравнений

с начальными условиями ,

двумя способами: методом исключения неизвестных и операторным методом.

, , , , ,

Решение

В нашем случае имеем систему:

с начальными условиями ,

а) Метод исключения неизвестных.

Продифференцируем по t первое уравнение

Исключая с помощью второго уравнения и с помощью первого уравнения системы, получим

, ,

Таким образом, задача свелась к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Характеристическое уравнение имеет корни и . Следовательно, общее решение для х будет . Подставляя х в первое уравнение, находим общее решение для у

Для определения произвольных постоянных воспользуемся начальными условиями. При t=0 , тогда , при t=0, тогда .

Имеем систему:

Следовательно, ,

Тогда частное решение имеет вид:

а) Операторный метод.

Перейдя к изображениям, получим

или

Решаем эту систему относительно ,

,

или разлогая рациональные дроби на простейшие

,

Переходя к оригиналу, окончательно получим

Ответ:

 
Яндекс.Метрика
Наверх