Дифференциальные уравнения, ряды, теория вероятности
Вариант 21
Контрольная работа № 5 «Числовые и функциональные ряды»
В задачах 501-510 исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком сходимости Даламбера.
506.
Применяем признак Даламбера:
Таким образом, так как , то данный ряд сходится по признаку Даламбера.
В задачах 521-540 дан степенной ряд
Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Значения а, b и k даны.
527.
Имеем степенной ряд .
Первые четыре члена ряда:
Применяем признак Даламбера:
Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых
Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.
При ряд примет вид - знакочередующийся; его общий член по абсолютному значению стремиться к нулю при n®¥. По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд сходится. Следовательно, значение принадлежит области сходимости данного ряда.
Подставив в , получим - расходится (для этого достаточно сравнить его с гармоническим рядом). Следовательно, значение не принадлежит области сходимости данного ряда. Таким образом, - область сходимости исследуемого ряда.
В задачах 541-560 требуется вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.
558.
Решение
Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции cos(x), будем иметь
Тогда
Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде третий член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничиваемся только первыми двумя членами. Итак,
В задачах 561-572 разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x), заданную на интервале-периоде
571.
Решение
Заданная функция f(x) удовлетворяет условиям разложения в ряд Фурье, поэтому имеем равенство
Где an и bn определяются по формулам
Коэффициент а0:
Определим коэффициенты аn:
Интегрируя по частям, получаем
Определим коэффициенты bn:
Интегрируя по частям, получаем
Подставляя найденные значения коэффициентов Фурье в формулу , получаем
Контрольная работа № 6 «Дифференциальные уравнения»
В задачах 581-590 найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.
590.
Решение
Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных х и у. Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.
Если у=хt, то дифференциал dy=d(xt)=tdx+xdt, и данное уравнение примет вид
Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:
Из введенной подстановки следует, что у=хt. Следовательно, или - общее решение данного уравнения.
В задачах 601-620 даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
611.
Решение
Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента х. Положим у’=р, где р – некоторая функция переменной у. Если у’=р, то . Тогда данное уравнение примет вид
Тогда при - решение данного уравнения.
При - уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:
Обратная подстановка у’=р. Тогда
Используя начальные условия , находим С1:
Далее решаем уравнение :
Теперь определим значение С2:
Тогда - искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
В задачах 621-640 даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
622.
Решение
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 4r = 0
Корни характеристического уравнения: r1 = 0, r2 = -4.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e-4x, y2 = e0x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Правая часть F(x) =
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
Где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = 0, β = 1.
Следовательно, число α+βi=0+1i не является корнем характеристического уравнения.
Уравнение имеет частное решение вида:
Вычисляем производные: ,
Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получаем систему уравнений:
Частное решение имеет вид:
Тогда общее решение данного уравнения
Используем начальные условия
. Тогда
Окончательно,
Ответ:
В задачах 661-680 при указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции y=f(x), являющейся решением заданного дифференциального уравнения.
662.
Решение
Положим, что у(х) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если у(х) допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем
(1)
Свободный член разложения (1), т. е. у(0), дан по условию. Чтобы найти значения y'(0), y’’(0), y’’’(0),…, можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной х и затем вычислить значения производных при х=0.
Значение у’(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:
Подставив найденные значения производных при х=0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения:
или
Контрольная работа № 7 «Вероятность и законы распределения»
691. На химзаводе расположены 5 складов с продукцией. Вероятность возникновения пожара в каждом из них в течение года равна 0,03. Построить график функции распределения для складов, на которых ежегодно бывают пожары.
Решение
Используем формулу Бернулли
Если производится п независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления событий А постоянна и равна р, а вероятность противоположного события равна q=1-p, то вероятность Рп(т) того, что при этом событие А осуществляется ровно т раз, вычисляется по формуле
где есть число сочетаний из п элементов по т.
По условию задачи возникновения пожара в каждом из складов в течение года равна р=0,03; тогда q=0,97; в данном случае п=5 и. Подставляя эти данные в формулу Бернулли (1), получим
При m=0
При m=1
При m=2
При m=3
При m=4
При m=5
В задачах 711-720 дано, что на заводе рабочий за смену изготовляет n деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта равна р. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет m штук.
716.
Решение
Применим локальную теорему Муавра-Лапласа, согласно которой искомая вероятность вычисляется приближенно по формуле где
Так как функция j(х) четная, то j(-х)=j(х).
Подставим сюда числовые значения: n=192, p=0,75, m=150.
Находим q=1-0,75=0,25
Определяем значение х при этих данных:
По таблице находим, что j(1)=0,2420. Подставив это значение в получим
Ответ:
В задачах 731-740 дано, что детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали (математическое ожидание) равна а мм, среднее квадратическое отклонение - s мм. Найти: 1) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше a мм и меньше b мм; 2) вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более чем на d мм. Значения а, s, a, b, d даны.
733. |
А=36, |
S=4, |
A=30, |
B=40, |
D=2. |
Решение
Если величина Х распределена по нормальному закону, то
Где а=М(Х) и . По условию s=4, a=30 и b=40. Подставив эти данные, получим
Если Х – длина диаметра детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а-d, а+d), где а=36 и d=2. Подставив в формулу A=а-d и b=а+d, получим
Таким образом,
Подставляя имеющиеся данные, получим
Итак, вероятность того, что изготовление детали по длине будут в пределах от 34 до 38 см, составляет 0,383
В задачах 741-760 задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).
Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение s.
752. |
Х |
18 |
22 |
23 |
26 |
Р |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,1 |
Решение
Математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле
Тогда М(Х) = 18·0,2+22·0,3+23·0,4+26·0,1=3,6+6,6+9,2+2,6=22
Дисперсию D(X) найдём по формуле
Для вычисления составим следующий закон распределения величины :
Х |
324 |
484 |
529 |
676 |
Р |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,1 |
Тогда и
Среднее квадратическое отклонение найдём по формуле
Из этой формулы имеем:
Вариант 22
Контрольная работа № 5 «Числовые и функциональные ряды»
В задачах 501-510 исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком сходимости Даламбера.
507.
Решение
Применяем признак Даламбера:
Таким образом, так как , то данный ряд сходится по признаку Даламбера.
В задачах 521-540 дан степенной ряд
Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Значения а, b и k даны.
528.
Решение
Имеем степенной ряд .
Первые четыре члена ряда:
Применяем признак Даламбера:
Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых
Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.
При ряд Примет вид - знакочередующийся; его общий член по абсолютному значению стремиться к нулю при n®¥. По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд сходится. Следовательно, значение принадлежит области сходимости данного ряда.
Подставив в , получим - расходится (для этого достаточно сравнить его с гармоническим рядом). Следовательно, значение не принадлежит области сходимости данного ряда. Таким образом, - область сходимости исследуемого ряда.
В задачах 541-560 требуется вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.
559.
Решение
Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции , будем иметь
Тогда
Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде третий член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничиваемся только первыми двумя членами. Итак,
В задачах 561-572 разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x), заданную на интервале-периоде
572.
Решение
Заданная функция f(x) удовлетворяет условиям разложения в ряд Фурье, поэтому имеем равенство
Где an и bn определяются по формулам
Коэффициент а0:
Определим коэффициенты аn:
Определим коэффициенты bn:
Подставляя найденные значения коэффициентов Фурье в формулу , получаем
Контрольная работа № 6 «Дифференциальные уравнения»
В задачах 581-590 найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.
581.
Решение
Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (первого) относительно переменных х и у. Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.
Если у=хt, то дифференциал dy=d(xt)=tdx+xdt, и данное уравнение примет вид
Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:
Посчитаем отдельно:
Тогда
Из введенной подстановки следует, что у=хt. Следовательно, или - общее решение данного уравнения.
В задачах 601-620 даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
612.
Решение
Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента х. Положим у’=р, где р – некоторая функция переменной у. Если у’=р, то . Тогда данное уравнение примет вид - уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:
Обратная подстановка у’=р. Тогда
Используя начальные условия , находим С1:
Далее решаем уравнение :
Теперь определим значение С2:
Тогда - искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
В задачах 621-640 даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
623.
Решение
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 –r-2 = 0
Корни характеристического уравнения: r1 = -1, r2 = 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e-1x, y2 = e2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Правая часть F(x) =
Поиск частного решения.
Уравнение имеет частное решение вида:
Вычисляем производные: ,
Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
,
Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получаем систему уравнений:
Частное решение имеет вид:
Тогда общее решение данного уравнения
Используем начальные условия
.
Тогда решим систему:
Окончательно,
Ответ:
В задачах 661-680 при указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции y=f(x), являющейся решением заданного дифференциального уравнения.
663.
Решение
Положим, что у(х) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если у(х) допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем
(1)
Свободный член разложения (1), т. е. у(0), дан по условию. Чтобы найти значения y'(0), y’’(0), y’’’(0),…, можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной х и затем вычислить значения производных при х=0.
Значение у’(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:
Подставив найденные значения производных при х=0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения:
или
Контрольная работа № 7 «Вероятность и законы распределения»
692. Автоматическая пожарная сигнализация установлена в помещениях. Вероятность возникновения пожара в каждом из помещений в течение года равна РП=0,5. Сигнализация обнаруживает загорание с вероятностью РС=0,06. Вероятность срабатывания без пожара равна РОШ=0,07. Найти вероятность наличия загорания при условии, что сигнализация сработала.
Решение
В соответствии с Формулами Байеса, вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на условную вероятность события по этой гипотезе, деленному на полную вероятность события:
В нашей задаче событие А – сигнализация сработала; гипотезы Н1 – возник пожар; Н2 – пожара не было.
Априорные (доопытные) вероятности гипотез нам известны: Р(Н1)=0,5; Р(Н2)=0,5. Условные вероятности срабатывания сигнализации при этом даны: Р(А/Н1)=0,06; Р(А/Н2)=0,07. Полная вероятность попадания в цель Р(А)= 0,5*0,06+0,5*0,07=0,065
Тогда апостериорная (послеопытная) вероятность гипотезы Н1 – возник пожар будет равна
;
Ответ:
В задачах 711-720 дано, что на заводе рабочий за смену изготовляет n деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта равна р. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет m штук.
717.
Решение
Применим локальную теорему Муавра-Лапласа, согласно которой искомая вероятность вычисляется приближенно по формуле
где
Так как функция j(х) четная, то j(-х)=j(х).
Подставим сюда числовые значения: n=225, p=0.8, m=165.
Находим q=1-0,8=0,2
Определяем значение х при этих данных:
По таблице находим, что j(2,5)=0,0175. Подставив это значение в получим
Ответ:
В задачах 731-740 дано, что детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали (математическое ожидание) равна а мм, среднее квадратическое отклонение - s мм. Найти: 1) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше a мм и меньше b мм; 2) вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более чем на d мм. Значения а, s, a, b, d даны.
734. |
А=60, |
S=5, |
A=54, |
B=70, |
D=8. |
Решение
Если величина Х распределена по нормальному закону, то
Где а=М(Х) и . По условию s=5, a=54 и b=70. Подставив эти данные, получим
Если Х – длина диаметра детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а-d, а+d), где а=60 и d=8. Подставив в формулу A=а-d и b=а+d, получим
Таким образом,
Подставляя имеющиеся данные, получим
Итак, вероятность того, что изготовление детали по длине будут в пределах от 52 до 68 см, составляет
В задачах 741-760 задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).
Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение s.
753. |
Х |
78 |
80 |
84 |
85 |
Р |
0,2 |
0,3 |
0,1 |
0,4 |
Решение
Математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле
Тогда М(Х) = 78·0,2+80·0,3+84·0,1+85·0,4=15,6+24+8,4+34=82.
Дисперсию D(X) найдём по формуле
Для вычисления составим следующий закон распределения величины :
Х |
6084 |
6400 |
7056 |
7225 |
Р |
0,2 |
0,3 |
0,1 |
0,4 |
Тогда и
Среднее квадратическое отклонение найдём по формуле
Из этой формулы имеем:
Вариант 11
Контрольная работа № 5 «Числовые и функциональные ряды»
В задачах 511-520 исследовать сходимость рядов, пользуясь интегральным признаком сходимости Коши.
516.
Решение
Применяем интегральный признак Коши, для этого посчитаем соответствующий несобственный интеграл:
Следовательно, исходный ряд сходится по интегральному признаку Коши.
В задачах 521-540 дан степенной ряд
Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Значения а, b и k даны.
537.
Решение
Имеем степенной ряд .
Первые четыре члена ряда:
Применяем признак Даламбера:
Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых
Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.
При ряд примет вид - знакочередующийся; его общий член по абсолютному значению стремиться к нулю при n®¥. По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд сходится. Следовательно, значение принадлежит области сходимости данного ряда.
Подставив в , получим - расходится (для этого достаточно сравнить его с гармоническим рядом). Следовательно, значение не принадлежит области сходимости данного ряда. Таким образом, - область сходимости исследуемого ряда.
В задачах 541-560 требуется вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.
548.
Решение
Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции cos(x), будем иметь , тогда ,
Тогда
Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде третий член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничиваемся только первыми двумя членами. Итак,
В задачах 561-572 разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x), заданную на интервале-периоде
561.
Решение
Заданная функция f(x) удовлетворяет условиям разложения в ряд Фурье, поэтому имеем равенство
Где an и bn определяются по формулам
Коэффициент а0:
Определим коэффициенты аn:
Определим коэффициенты bn:
Подставляя найденные значения коэффициентов Фурье в формулу , получаем
Контрольная работа № 6 «Дифференциальные уравнения»
В задачах 591-600 Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
600.
Решение
Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию У и ее производную У’ в первой степени и не содержит их произведений.
Применяем подстановку У=Uv, где U и V – некоторые неизвестные функции аргумента Х. Если У=Uv, то Y’=(Uv)’=U’V+Uv’ и данное уравнение примет вид Или (1)
Так как искомая функция У представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию U так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части равенства (1), обращалось в нуль, т. е. выберем функцию U так, чтобы имело место равенство (2)
При таком выборе функции U уравнение (1) примет вид (3)
Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными относительно U и Х. Решим это уравнение:
(Чтобы равенство(2) имело место, достаточно найти одно какое-либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С=0). Подставив в (3) найденное выражение для U, получим:. Тогда - общее решение данного уравнения.
Используем условие
Окончательно
В задачах 601-620 даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
601.
Решение
Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно функцию У. Положим У’=Р, где Р – некоторая функция аргумента Х. Если У’=Р, то и данное уравнение примет вид . Мы получили уравнение первого порядка относительно переменных Р и Х. Решим это уравнение.
Применяем подстановку Р=Uv, где U и V – некоторые неизвестные функции аргумента Х. Р’=(Uv)’=U’V+Uv’ и данное уравнение примет вид
Подставив в уравнение получим
Тогда . Обратная подстановка
Определим численное значение С При указанных начальных условиях. Имеем . Теперь решаем уравнение первого порядка :
Определим численное значение С2 при указанных начальных условиях. Имеем .
Таким образом, есть частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
В задачах 621-640 даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
639.
Решение
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 6r +9= 0
Корни характеристического уравнения: r1 = -3, r2 = -3.
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Правая часть F(x) =
Уравнение имеет частное решение вида:
Вычисляем производные:
,
Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
,
Частное решение имеет вид:
Тогда общее решение данного уравнения
Используем начальные условия
.
Окончательно,
Ответ:
В задачах 661-680 при указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции y=f(x), являющейся решением заданного дифференциального уравнения.
672.
Решение
Положим, что у(х) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если у(х) допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем
(1)
Свободный член разложения (1), т. е. у(0), дан по условию. Чтобы найти значения y'(0), y’’(0), y’’’(0),…, можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной х и затем вычислить значения производных при х=0.
Значение у’(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:
Подставив найденные значения производных при х=0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения:
или
Контрольная работа № 7 «Вероятность и законы распределения»
681. Автоматическая пожарная сигнализация установлена в помещениях. Вероятность возникновения пожара в каждом из помещений в течение года равна РП=0,05. Сигнализация обнаруживает загорание с вероятностью РС=0,85. Вероятность срабатывания без пожара равна РОШ=0,012. Найти вероятность наличия загорания при условии, что сигнализация сработала.
Решение
В соответствии с формулой Байеса, вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на условную вероятность события по этой гипотезе, деленному на полную вероятность события:
В нашей задаче событие А – сигнализация сработала; гипотезы Н1 – возник пожар; Н2 – пожара не было.
Априорные (доопытные) вероятности гипотез нам известны: Р(Н1)=0,05; Р(Н2)=1-Р(Н1)=1-0,05=0,95. Условные вероятности срабатывания сигнализации при этом даны: Р(А/Н1)=0,85; Р(А/Н2)=0,012. Полная вероятность попадания в цель
Р(А)= 0,05*0,85+0,95*0,012=0,0425+0,0114=0,0539
Тогда апостериорная (послеопытная) вероятность гипотезы Н1 – возник пожар будет равна
;
Ответ:
705. Принимая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, найти вероятность того, что среди 6 новорожденных: а) 4 мальчика; б) не более двух девочек.
Решение
Используем формулу Бернулли
Если производится n независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления событий А постоянна и равна р, а вероятность противоположного события равна q=1-p, то вероятность того, что при этом событие осуществляется ровно m раз, вычисляется по формуле где есть число сочетаний из n элементов по m.
По условию задачи вероятности рождения мальчика и девочки одинаковы, тогда р=0,5; тогда q=0,5;Подставляя эти данные в формулу Бернулли, получим
А) 4 мальчика;
Б) не более двух девочек.
Ответ: а) 4 мальчика б) не более двух девочек
В задачах 721-730 дана вероятность Р появления события А в каждом из П независимых испытаний. Пользуясь интегральной теоремой Лапласа, найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится не менее M1 раз и не более M2 раза.
724.
Решение
Так как вероятность наступления события А в каждом из П независимых испытаний постоянна и равна р=0,4, а число n=600 достаточно велико, то вероятность того, что событие А в таких испытаниях наступит не менее Т1 раз и не более Т2 раз, вычисляется приближенно по формуле
, где
Эта функция является нечетной, т. е. Ф(-х)=-Ф(х). Если воспользоваться готовыми значениями функции Лапласа, то формулу можно записать так:
По условию П=600, Р=0,4, Т1=210, Т2=252. Находим A и B:
По таблице находим Ф(1)=0,3413; Ф(-2,5)=-Ф(2,5)=-0,4938. Подставив эти значения, получим искомую вероятность:
В задачах 741-760 задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).
Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение s.
743. |
Х |
24 |
26 |
28 |
30 |
Р |
0,2 |
0,2 |
0,5 |
0,1 |
Решение
Математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле
+
Тогда М(Х) = 24·0,2+26·0,2+28·0,5+30·0,1=4,8+5,2+14+3=27
Дисперсию D(X) найдём по формуле
Для вычисления составим следующий закон распределения величины :
Х |
576 |
676 |
784 |
900 |
Р |
0,2 |
0,2 |
0,5 |
0,1 |
Тогда и
Среднее квадратическое отклонение найдём по формуле
Из этой формулы имеем:
Вариант 25
Контрольная работа № 5 «Числовые и функциональные ряды»
В задачах 501-510 исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком сходимости Даламбера.
510.
Решение
Применяем признак Даламбера:
Таким образом, так как , то данный ряд расходится по признаку Даламбера.
В задачах 521-540 дан степенной ряд
Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Значения а, b и k даны.
521.
Решение
Имеем степенной ряд .
Первые четыре члена ряда:
Применяем признак Даламбера:
Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых
Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.
При ряд Примет вид - знакочередующийся; его общий член по абсолютному значению стремиться к нулю при n®¥. По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд сходится. Следовательно, значение принадлежит области сходимости данного ряда.
Подставив в , получим - расходится (для этого достаточно сравнить его с гармоническим рядом). Следовательно, значение не принадлежит области сходимости данного ряда. Таким образом, - область сходимости исследуемого ряда.
В задачах 541-560 требуется вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.
552.
Решение
Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции , будем иметь
Тогда ,
Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде третий член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничиваемся только первыми двумя членами. Итак,
575. Функцию в интервале (0, 1) разложить в ряд синусов.
Решение
Так как по условию ряд заданной функции должен содержать только синусы кратных дуг, то продолжим функцию в интервале (-1;0) нечетным образом. В результате будет получена нечетная функция, которая совпадает с заданной на интервале (0;1). Известно, что ряд Фурье для нечетной функции имеет вид где bn определяется по формуле
Определим коэффициенты bn:
Подставляя найденное значение коэффициентов Фурье в формулу , получаем
Контрольная работа № 6 «Дифференциальные уравнения»
В задачах 581-590 найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.
584.
Решение
Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных х и у. Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.
Если у=хt, то дифференциал dy=d(xt)=tdx+xdt, и данное уравнение примет вид
Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:
Из введенной подстановки следует, что у=хt. Следовательно, или - общее решение данного уравнения.
В задачах 601-620 даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
615.
Решение
Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента х. Положим у’=р, где р – некоторая функция переменной у. Если у’=р, то . Тогда данное уравнение примет вид - уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:
Обратная подстановка у’=р. Тогда
Используя начальные условия , находим С1:
Далее решаем уравнение :
Теперь определим значение С2:
Тогда - искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
В задачах 621-640 даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
626.
Решение
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2–4=0
Корни характеристического уравнения: r1 = 2, r2 = -2.
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Уравнение имеет частное решение вида:
Вычисляем производные: ,
Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
,
Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получаем систему уравнений:
Частное решение имеет вид:
Тогда общее решение данного уравнения
Используем начальные условия
.
Тогда решим систему:
Окончательно,
Ответ:
В задачах 661-680 при указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции y=f(x), являющейся решением заданного дифференциального уравнения.
666.
Решение
Положим, что у(х) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если у(х) допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем
(1)
Свободный член разложения (1), т. е. у(0), дан по условию. Чтобы найти значения y'(0), y’’(0), y’’’(0),…, можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной х и затем вычислить значения производных при х=0.
Значение у’(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:
Подставив найденные значения производных при х=0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения:
или
Контрольная работа № 7 «Вероятность и законы распределения»
695. На территории региона работают 4 атомных станции. Расчетная вероятность возникновения в течение года инцидентов, связанных с пожарами, составляет 0,03; с выходом из строя электрооборудования – 0,05; прорывом трубопроводов – 0,08. Найти вероятность того, что в течение года не будет инцидентов по этим причинам.
Решение
Вероятность того, что в течение года не будет инцидентов, связанных с пожарами , с выходом из строя электрооборудования ; прорывом трубопроводов .
По теореме умножения вероятностей независимых событий вероятность того, что в течение года не будет инцидентов по этим причинам:
Ответ:
В задачах 711-720 дано, что на заводе рабочий за смену изготовляет n деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта равна р. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет m штук.
720.
Решение
Применим локальную теорему Муавра-Лапласа, согласно которой искомая вероятность вычисляется приближенно по формуле
где
Так как функция j(х) четная, то j(-х)=j(х).
Подставим сюда числовые значения: .
Находим q=1-0,8=0,2
Определяем значение х при этих данных:
По таблице находим, что j(1)=0,2420. Подставив это значение в получим
Ответ:
В задачах 731-740 дано, что детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали (математическое ожидание) равна а мм, среднее квадратическое отклонение - s мм. Найти: 1) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше a мм и меньше b мм; 2) вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более чем на d мм. Значения а, s, a, b, d даны.
737. |
А=35, |
S=4, |
A=27, |
B=37, |
D=2. |
Решение
Если величина Х распределена по нормальному закону, то
Где а=М(Х) и . По условию s=4, a=27 и b=37. Подставив эти данные, получим
Если Х – длина диаметра детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а-d, а+d), где а=35 и d=2. Подставив в формулу A=а-d и b=а+d, получим
Таким образом,
Подставляя имеющиеся данные, получим
Итак, вероятность того, что изготовление детали по длине будут в пределах от 33 до 37 см, составляет
В задачах 741-760 задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).
Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение s.
756. |
Х |
56 |
58 |
60 |
64 |
Р |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,1 |
Решение
Математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле
Тогда М(Х) = 56·0,2+58·0,3+60·0,4+64·0,1=11,2+17,4+24+6,4=59.
Дисперсию D(X) найдём по формуле
Для вычисления составим следующий закон распределения величины :
Х |
3136 |
3364 |
3600 |
4096 |
Р |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,1 |
Тогда и
Среднее квадратическое отклонение найдём по формуле
Из этой формулы имеем:
Вариант 26
Контрольная работа № 5 «Числовые и функциональные ряды»
В задачах 501-510 исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком сходимости Даламбера.
501.
Решение
Применяем признак Даламбера:
Таким образом, так как , то данный ряд расходится по признаку Даламбера.
В задачах 521-540 дан степенной ряд
Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Значения а, b и k даны.
522.
Решение
Имеем степенной ряд .
Первые четыре члена ряда:
Применяем признак Даламбера:
Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых
Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.
При ряд Примет вид - знакочередующийся; его общий член по абсолютному значению стремиться к нулю при n®¥. По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд сходится. Следовательно, значение принадлежит области сходимости данного ряда.
Подставив в , получим - расходится (для этого достаточно сравнить его с гармоническим рядом). Следовательно, значение не принадлежит области сходимости данного ряда. Таким образом, - область сходимости исследуемого ряда.
В задачах 541-560 требуется вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.
553.
Решение
Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции , будем иметь
Тогда ,
Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде четвёртый член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничиваемся только первыми тремя членами. Итак,
576. Функцию в интервале (0, p) разложить в ряд синусов.
Решение
Так как по условию ряд заданной функции должен содержать только синусы кратных дуг, то продолжим функцию в интервале (-p;0) нечетным образом. В результате будет получена нечетная функция, которая совпадает с заданной на интервале (0;1). Известно, что ряд Фурье для нечетной функции имеет вид где bn определяется по формуле
Определим коэффициенты bn:
Подставляя найденное значение коэффициентов Фурье в формулу , получаем
Контрольная работа № 6 «Дифференциальные уравнения»
В задачах 581-590 найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.
585.
Решение
Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных х и у. Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.
Если у=хt, то дифференциал dy=d(xt)=tdx+xdt, и данное уравнение примет вид
Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:
Из введенной подстановки следует, что у=хt. Следовательно, или - общее решение данного уравнения.
В задачах 601-620 даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
616.
Решение
Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента х. Положим у’=р, где р – некоторая функция переменной у. Если у’=р, то . Тогда данное уравнение примет вид - уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:
Обратная подстановка у’=р. Тогда
Используя начальные условия , находим С1:
Далее решаем уравнение :
Теперь определим значение С2:
Тогда - искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
В задачах 621-640 даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
627.
Решение
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2+r=0
Корни характеристического уравнения: r1 =0, r2 =-1.
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Уравнение имеет частное решение вида:
Вычисляем производные: ,
Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
,
Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получаем систему уравнений:
Частное решение имеет вид:
Тогда общее решение данного уравнения
Используем начальные условия
.
Тогда решим систему:
Окончательно,
Ответ:
В задачах 661-680 при указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции y=f(x), являющейся решением заданного дифференциального уравнения.
667.
Решение
Положим, что у(х) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если у(х) допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем
(1)
Свободный член разложения (1), т. е. у(0), дан по условию. Чтобы найти значения y'(0), y’’(0), y’’’(0),…, можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной х и затем вычислить значения производных при х=0.
Значение у’(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:
Подставив найденные значения производных при х=0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения:
или
Контрольная работа № 7 «Вероятность и законы распределения»
696. Об объекте известно: вероятность срабатывания системы пожарной защиты (ПЗ) равна РПЗ=0,7; вероятность эвакуации персонала до начала воздействия ОФП равна РЭ=0,3. Вероятность воздействия ОФП при отказе системы ПЗ равна 0,7; вероятность воздействия ОФП на неэвакуированный персонал – 0,4. Найти вероятность того, что причиной имевшего место действия ОФП на персонал стала ненадежность ПЗ.
Решение
Обозначим
- событие срабатывание системы пожарной защиты. Р(А)=0,7
- событие не срабатывание системы пожарной защиты. Р()=0,3
- событие эвакуации персонала до начала воздействия ОФП. Р(В)=0,3
- событие эвакуации персонала после начала воздействия ОФП. Р()=0,7
- событие воздействие ОФП при отказе системы ПЗ. Р(С)=0,7
- событие не воздействие ОФП при отказе системы ПЗ. Р()=0,3
- событие воздействие ОФП на неэвакуированный персонал. Р(D)=0,4
- событие не воздействие ОФП на неэвакуированный персонал. Р()=0,6
Необходимо найти вероятность того, что причиной имевшего место действия ОФП на персонал стала ненадежность ПЗ, то есть вероятность происхождения последовательности событий , , , D.
По теореме умножения
Р(.)=0,3*0,7*0,7*0,4=0,0588
Ответ: Р(.)=0,0588
В задачах 711-720 дано, что на заводе рабочий за смену изготовляет n деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта равна р. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет m штук.
711.
Решение
Применим локальную теорему Муавра-Лапласа, согласно которой искомая вероятность вычисляется приближенно по формуле
где
Так как функция j(х) четная, то j(-х)=j(х).
Подставим сюда числовые значения:
Находим q=1-0,8=0,2
Определяем значение х при этих данных:
По таблице находим, что j(0)=0,3989. Подставив это значение в получим
Ответ:
В задачах 731-740 дано, что детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали (математическое ожидание) равна а мм, среднее квадратическое отклонение - s мм. Найти: 1) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше a мм и меньше b мм; 2) вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более чем на d мм. Значения а, s, a, b, d даны.
738. А=45, S=5, A=40, B=48, D=3. |
Решение
Если величина Х распределена по нормальному закону, то
Где а=М(Х) и . По условию s=5, a=40 и b=48. Подставив эти данные, получим
Если Х – длина диаметра детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а-d, а+d), где а=45 и d=3. Подставив в формулу A=а-d и b=а+d, получим
Таким образом,
Подставляя имеющиеся данные, получим
Итак, вероятность того, что изготовление детали по длине будут в пределах от 42 до 48 см, составляет
В задачах 741-760 задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).
Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение s.
757. |
Х |
31 |
34 |
37 |
40 |
Р |
0,3 |
0,5 |
0,1 |
0,1 |
Решение
Математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле
Тогда М(Х) = 31·0,3+34·0,5+37·0,1+40·0,1=9,3+17+3,7+4=34.
Дисперсию D(X) найдём по формуле
Для вычисления составим следующий закон распределения величины :
Х |
961 |
1156 |
1369 |
1600 |
Р |
0,3 |
0,5 |
0,1 |
0,1 |
Тогда и
Среднее квадратическое отклонение найдём по формуле
Из этой формулы имеем:
< Предыдущая | Следующая > |
---|