Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home

Дифференциальные уравнения (ОДУ)

PDF Печать E-mail

Дифференциальные уравнения.

§ 1. Основные понятия об обыкновенных дифференциальных уравнениях.

Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением N – го порядка для функции Y Аргумента X Называется соотношение вида

Дифференциальные уравнения. (1.1),

Где F – заданная функция своих аргументов. В названии этого класса математических уравнений термин «дифференциальное» подчеркивает, что в них входят производные Дифференциальные уравнения. (функции, образованные как результат дифференцирования); термин – «обыкновенное» говорит о том, что искомая функция зависит только от одного действительного аргумента.

Обыкновенное дифференциальное уравнение может не содержать в явном виде аргумент X, Искомую функцию Дифференциальные уравнения. и любые ее производные, но старшая производная Дифференциальные уравнения. обязана входить в уравнение N-Го порядка. Например

А) Дифференциальные уравнения. – уравнение первого порядка;

Б) Дифференциальные уравнения. – уравнение третьего порядка.

При написании обыкновенных дифференциальных уравнений часто используются обозначения производных через дифференциалы:

В) Дифференциальные уравнения. – уравнение второго порядка;

Г) Дифференциальные уравнения. – уравнение первого порядка,

Образующее после деления на Dx эквивалентную форму задания уравнения: Дифференциальные уравнения..

Функция Дифференциальные уравнения. называется решением обыкновенного дифференциального уравнения, если при подстановке в него Дифференциальные уравнения. оно обращается в тождество.

Например, уравнение 3-го порядка

Дифференциальные уравнения. имеет решение Дифференциальные уравнения..

Найти тем или иным приемом, например, подбором, одну функцию, удовлетворяющую уравнению, не означает решить его. Решить обыкновенное дифференциальное уравнение – значит найти Все функции, образующие при подстановке в уравнение тождество. Для уравнения (1.1) семейство таких функций образуется с помощью произвольных постоянных и называется общим решением обыкновенного дифференциального уравнения N-го порядка, причем число констант совпадает с порядком уравнения: Дифференциальные уравнения. Общее решение может быть, и не разрешено явно относительно Y(X): Дифференциальные уравнения. В этом случае решение принято называть общим интегралом уравнения (1.1).

Например, общим решением дифференциального уравнения Дифференциальные уравнения. является следующее выражение: Дифференциальные уравнения., причем второе слагаемое может быть записано и как Дифференциальные уравнения., так как произвольная постоянная Дифференциальные уравнения., делённая на 2, может быть заменена новой произвольной постоянной Дифференциальные уравнения..

Задавая некоторые допустимые значения всем произвольным постоянным в общем решении или в общем интеграле, получаем определенную функцию, уже не содержащую произвольных констант. Эта функция называется частным решением или частным интегралом уравнения (1.1). Для отыскания значений произвольных постоянных, а следовательно, и частного решения, используются различные дополнительные условия к уравнению (1.1). Например, могут быть заданы так называемые начальные условия при Дифференциальные уравнения. (1.2)

В правых частях начальных условий (1.2) заданы числовые значения функции и производных, причем, общее число начальных условий равно числу определяемых произвольных констант.

Задача отыскания частного решения уравнения (1.1) по начальным условиям называется задачей Коши.

§ 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка – основные понятия.

Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка (N=1) имеет вид: Дифференциальные уравнения. или, если его удается разрешить относительно производной: Дифференциальные уравнения.. Общее решение Y=Y(X,С) Или общий интеграл Дифференциальные уравнения. уравнения 1-го порядка содержат одну произвольную постоянную. Единственное начальное условие для уравнения 1-го порядка Дифференциальные уравнения. позволяет определить значение константы из общего решения или из общего интеграла. Таким образом, будет найдено частное решение или, что тоже, будет решена задача Коши. Вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши является одним из центральных в общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Для уравнения 1-го порядка, в частности, справедлива теорема, принимаемая здесь без доказательства.

Теорема 2.1. Если в уравнении Дифференциальные уравнения. функция Дифференциальные уравнения. и ее частная производная Дифференциальные уравнения. непрерывны в некоторой области D Плоскости XOY , и в этой области задана точка Дифференциальные уравнения., то существует и притом единственное решение Дифференциальные уравнения., удовлетворяющее как уравнению Дифференциальные уравнения., так и начальному условию Дифференциальные уравнения..

Геометрически общее решение уравнения 1-го порядка представляет собой семейство кривых на плоскости XOY, не имеющих общих точек и отличающихся друг от друга одним параметром – значением константы C. Эти кривые называются интегральными кривыми для данного уравнения. Интегральные кривые уравнения Дифференциальные уравнения. обладают очевидным геометрическим свойством: в каждой точке Дифференциальные уравнения. тангенс угла наклона касательной к кривой равен значению правой части уравнения в этой точке: Дифференциальные уравнения.. Другими словами, уравнение Дифференциальные уравнения. задается в плоскости XOY поле направлений касательных к интегральным кривым. Замечание: Необходимо отметить, что к уравнению Дифференциальные уравнения. приводится уравнение Дифференциальные уравнения. и так называемое уравнение в симметрической формеДифференциальные уравнения..

§ 3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида Дифференциальные уравнения. (3.1)

Или уравнение вида Дифференциальные уравнения. (3.2)

Для того, чтобы в уравнении (3.1) разделить переменные, т. е. привести это уравнение к так называемому уравнению с разделенными переменными, произвести следующие действия:

Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения.;

Теперь надо решить уравнение G(Y)= 0. Если оно имеет вещественное решение Y=A, То Y=A тоже будет решением уравнения (3.1).

Уравнение (3.2) приводится к уравнению с разделенными переменными делением на произведение Дифференциальные уравнения.:

Дифференциальные уравнения., что позволяет получить общий интеграл уравнения (3.2): Дифференциальные уравнения. . (3.3)

Интегральные кривые (3.3) будут дополнены решениями Дифференциальные уравнения., если такие решения существуют.

Пример.

Решить уравнение: Дифференциальные уравнения..

Решение.

Разделяем переменные:

Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения..

Интегрируя, получаем Дифференциальные уравнения.

Далее из уравнений Дифференциальные уравнения. и Дифференциальные уравнения. находим X=1, Y=-1. Эти решения – частные решения.

§ 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Определение 1. Уравнение 1-го порядка Дифференциальные уравнения. называется однородным, если для его правой части при любых Дифференциальные уравнения. справедливо соотношение Дифференциальные уравнения., называемое условием однородности функции двух переменных нулевого измерения.

Пример 1. Показать, что функция Дифференциальные уравнения. - однородная нулевого измерения.

Решение. Дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения.,

Что и требовалось доказать.

Теорема. Любая функция Дифференциальные уравнения. - однородна и, наоборот, любая однородная функция Дифференциальные уравнения. нулевого измерения приводится к виду Дифференциальные уравнения..

Доказательство.

Первое утверждение теоремы очевидно, т. к. Дифференциальные уравнения.. Докажем второе утверждение. Положим Дифференциальные уравнения., тогда для однородной функции Дифференциальные уравнения., что и требовалось доказать.

Определение 2. Уравнение Дифференциальные уравнения. (4.1)

В котором M И N – однородные функции одной и той же степени, т. е. обладают свойством Дифференциальные уравнения. при всех Дифференциальные уравнения., называется однородным.

Очевидно, что это уравнение всегда может быть приведено к виду Дифференциальные уравнения. (4.2) , хотя для его решения можно этого и не делать.

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены искомой функции Y по формуле Y=Zx, Где Z(X) – новая искомая функция. Выполнив эту подстановку в уравнении (4.2), получим: Дифференциальные уравнения. или Дифференциальные уравнения. или Дифференциальные уравнения..

Интегрируя, получаем общий интеграл уравнения относительно функции Z(X) Дифференциальные уравнения., который после повторной замены Дифференциальные уравнения. дает общий интеграл исходного уравнения. Кроме того, если Дифференциальные уравнения.- корни уравнения Дифференциальные уравнения., то функции Дифференциальные уравнения. - решения однородного заданного уравнения. Если же Дифференциальные уравнения., то уравнение (4.2) принимает вид

Дифференциальные уравнения. и становится уравнением с разделяющимися переменными. Его решениями являются полупрямые: Дифференциальные уравнения..

Замечание. Иногда целесообразно вместо указанной выше подстановки использовать подстановку X=Zy.

§ 5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.

Рассмотрим уравнение вида Дифференциальные уравнения.. (5.1)

Если Дифференциальные уравнения., то это уравнение с помощью подстановки Дифференциальные уравнения., где Дифференциальные уравнения. и Дифференциальные уравнения. - новые переменные, а Дифференциальные уравнения. и Дифференциальные уравнения. - некоторые постоянные числа, определяемые из системы Дифференциальные уравнения.

Приводится к однородному уравнению Дифференциальные уравнения.

Если Дифференциальные уравнения., то уравнение (5.1) принимает вид

Дифференциальные уравнения..

Полагая Z=Ax+By, приходим к уравнению, не содержащему независимой переменной.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Проинтегрировать уравнение Дифференциальные уравнения.

И выделить интегральную кривую, проходящую через точки: а) (2;2); б) (1;-1).

Решение.

Положим Y=Zx. Тогда Dy=Xdz+Zdx И

Дифференциальные уравнения..

Сократим на Дифференциальные уравнения. и соберем члены при Dx И Dz:

Дифференциальные уравнения..

Разделим переменные: Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения..

Интегрируя, получим Дифференциальные уравнения.;

Или Дифференциальные уравнения., Дифференциальные уравнения..

Заменив здесь Z на Дифференциальные уравнения., получим общий интеграл заданного уравнения в виде (5.2) Дифференциальные уравнения. или Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения..

Это семейство окружностей Дифференциальные уравнения., центры которых лежат на прямой Y = X И которые в начале координат касаются прямой Y + X = 0. Эта прямая Y = -X В свою очередь частное решение уравнения.

Теперь режим задачи Коши:

А) полагая в общем интеграле X=2, Y=2, Находим С=2, Поэтому искомым решением будет Дифференциальные уравнения..

Б) ни одна из окружностей (5.2) не проходит через точку (1;-1). Зато полупрямая Y = -X, Дифференциальные уравнения. Проходит через точку и дает искомое решение.

Пример 2. Решить уравнение: Дифференциальные уравнения..

Решение.

Уравнение является частным случаем уравнения (5.1).

Определитель Дифференциальные уравнения. в данном примере Дифференциальные уравнения., поэтому надо решить следующую систему Дифференциальные уравнения.

Решая, получим, что Дифференциальные уравнения.. Выполняя в заданном уравнении подстановку Дифференциальные уравнения., получаем однородное уравнение Дифференциальные уравнения.. Интегрируя его при помощи подстановки Дифференциальные уравнения., находим Дифференциальные уравнения..

Возвращаясь к старым переменным X И Y По формулам Дифференциальные уравнения., имеем Дифференциальные уравнения..

§ 6. Обобщенное однородное уравнение.

Уравнение M(X,Y)Dx+N(X,Y)Dy=0 называется обобщенным однородным, если удается подобрать такое число K, что левая часть этого уравнения становится однородной функцией некоторой степени M Относительно X, Y, Dx И Dy При условии, что X Считается величиной первого измерения, YKГо измерения, Dx И DyСоответственно нулевого и (K-1)-го измерений. Например, таким будет уравнение Дифференциальные уравнения.. (6.1)

Действительно при сделанном предположении относительно измерений

X, Y, Dx И Dy Члены левой части Дифференциальные уравнения. и Dy Будут иметь соответственно измерения -2, 2K и K-1. Приравнивая их, получаем условие, которому должно удовлетворять искомое число K: -2 = 2K = K-1. Это условие выполняется при K = -1 (при таком K все члены левой части рассматриваемого уравнения будут иметь измерение -2). Следовательно, уравнение (6.1) является обобщенным однородным.

Обобщенное однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки Дифференциальные уравнения., где Z – новая неизвестная функция. Проинтегрируем указанным методом уравнение (6.1). Так как K = -1, то Дифференциальные уравнения., после чего получаем уравнение Дифференциальные уравнения..

Интегрируя его, находим Дифференциальные уравнения., откуда Дифференциальные уравнения.. Это общее решение уравнения (6.1).

§ 7. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Линейным уравнением 1-го порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производной. Оно имеет вид:

Дифференциальные уравнения., (7.1)

Где P(X) И Q(X) – заданные непрерывные функции от X. Если функция Дифференциальные уравнения., То уравнение (7.1) имеет вид: Дифференциальные уравнения. (7.2)

И называется линейным однородным уравнением, в противном случае Дифференциальные уравнения. оно называется линейным неоднородным уравнением.

Линейное однородное дифференциальное уравнение (7.2) является уравнением с разделяющимися переменными:

Дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения. (7.3)

Выражение (7.3) есть общее решение уравнения (7.2). Чтобы найти общее решение уравнения (7.1), в котором функция P(X) обозначает ту же функцию, что и в уравнении (7.2), применим прием, называемый методом вариации произвольной постоянной и состоящий в следующем: постараемся подобрать функцию С=С(X) Так, чтобы общее решение линейного однородного уравнения (7.2) являлось бы решением неоднородного линейного уравнения (7.1). Тогда для производной функции (7.3) получим:

Дифференциальные уравнения..

Подставляя найденную производную в уравнение (7.1), будем иметь:

Дифференциальные уравнения.

Или Дифференциальные уравнения..

Откуда Дифференциальные уравнения., где Дифференциальные уравнения.- произвольная постоянная. В результате общее решение неоднородного линейного уравнения (7.1) будет Дифференциальные уравнения. (7.4)Дифференциальные уравнения.

Первое слагаемое в этой формуле представляет общее решение (7.3) линейного однородного дифференциального уравнения (7.2), а второе слагаемое формулы (7.4) есть частное решение линейного неоднородного уравнения (7.1), полученное из общего (7.4) при Дифференциальные уравнения.. Этот важный вывод выделим в виде теоремы.

Теорема. Если известно одно частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения Дифференциальные уравнения., то все остальные решения имеют вид Дифференциальные уравнения., где Дифференциальные уравнения. - общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Однако надо отметить, что для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка (7.1) чаще применяется другой метод, иногда называемый методом Бернулли. Будем искать решение уравнения (7.1) в виде Дифференциальные уравнения.. Тогда Дифференциальные уравнения.. Подставим найденную производную в исходное уравнение: Дифференциальные уравнения..

Объединим, например, второе и третье слагаемые последнего выражения и вынесем функцию U(X) за скобку: Дифференциальные уравнения. (7.5)

Потребуем обращения в нуль круглой скобки: Дифференциальные уравнения..

Решим это уравнение, полагая произвольную постоянную C равной нулю: Дифференциальные уравнения.. С найденной функцией V(X) вернемся в уравнение (7.5): Дифференциальные уравнения..

Решая его, получим: Дифференциальные уравнения..

Следовательно, общее решение уравнения (7.1) имеет вид:

Дифференциальные уравнения..

§ 8. Уравнение Бернулли.

Определение.

Дифференциальное уравнение вида Дифференциальные уравнения., где Дифференциальные уравнения., называется уравнением Бернулли.

Предполагая, что Дифференциальные уравнения., разделим обе части уравнения Бернулли на Дифференциальные уравнения.. В результате получим: Дифференциальные уравнения. (8.1)

Введем новую функцию Дифференциальные уравнения.. Тогда Дифференциальные уравнения.. Домножим уравнение (8.1) на Дифференциальные уравнения. и перейдем в нем к функции Z(X): Дифференциальные уравнения., т. е. для функции Z(X) получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Это уравнение решается методами, разобранными в предыдущем параграфе. Подставим в его общее решение вместо Z(X) выражение Дифференциальные уравнения., получим общий интеграл уравнения Бернулли, который легко разрешается относительно Y. При Дифференциальные уравнения. добавляется решение Y(X)=0. Уравнение Бернулли можно также решать, не делая перехода к линейному уравнению путем подстановки Дифференциальные уравнения., а применяя метод Бернулли, подробно разобранный в § 7. Рассмотрим применение этого способа для решения уравнения Бернулли на конкретном примере.

Пример. Найти общее решение уравнения: Дифференциальные уравнения. (8.2)

Решение.

Уравнение (8.2) является уравнением Бернулли, причем Дифференциальные уравнения..

Будем искать решение уравнения в виде Дифференциальные уравнения..

Тогда Дифференциальные уравнения..

В левой части последнего уравнения сгруппируем второе и третье слагаемые, которые содержат функцию U(X), и потребуем, чтобы Дифференциальные уравнения.. Откуда Дифференциальные уравнения.. Тогда для функции U(X) будем иметь следующее уравнение:

Дифференциальные уравнения. или Дифференциальные уравнения.,

Которое является уравнением с разделяющимися переменными для функции U(X). Решим его Дифференциальные уравнения.,

Дифференциальные уравнения., Дифференциальные уравнения.

Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид: Дифференциальные уравнения., Y(X)=0.

§ 9. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

Определение. Если в уравнении M(X,Y)Dx+N(X,Y)Dy=0 (9.1) левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U(X,Y), то оно называется уравнением в полных дифференциалах. Это уравнение можно переписать в виде Du(X,Y)=0, следовательно, его общий интеграл есть U(X,Y)=C.

Например, уравнение Xdy+Ydx=0 Есть уравнение в полных дифференциалах, так как его можно переписать в виде D(Xy)=0. Общим интегралом будет Xy=C.

Теорема. Предположим, что функции M и N Определены и непрерывны в некоторой односвязной области D И имеют в ней непрерывные частные производные соответственно по Y И по X. Тогда, для того, чтобы уравнение (9.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество Дифференциальные уравнения. (9.2).

Доказательство.

Доказательство необходимости этого условия очевидно. Поэтому докажем достаточность условия (9.2). Покажем, что может быть найдена такая функция U(X,Y), что Дифференциальные уравнения. и Дифференциальные уравнения..

Действительно, поскольку Дифференциальные уравнения.,то

Дифференциальные уравнения. (9.3) , где Дифференциальные уравнения.Дифференциальные уравнения. - произвольная дифференцируемая функция. Продифференцируем (9.3) по Y:

Дифференциальные уравнения.. Но Дифференциальные уравнения., следовательно, Дифференциальные уравнения..

Положим Дифференциальные уравнения. и тогда Дифференциальные уравнения..

Итак, построена функция Дифференциальные уравнения., для которой Дифференциальные уравнения., а Дифференциальные уравнения..

Рассмотрим пример.

Пример. Найти общий интеграл уравнения: Дифференциальные уравнения..

Решение. Здесь Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения.

Тогда Дифференциальные уравнения.. Следовательно, заданное дифференциальное уравнение 1-го порядка является уравнением в полных дифференциалах, т. е. существует такая функция U(X,Y), частные производные которой соответственно по X И Y Равны M(X,Y) И N(X,Y):

Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения.. Интегрируем первое из двух соотношений по X:

Дифференциальные уравнения., Дифференциальные уравнения..

Теперь продифференцируем U(X,Y) по Y и приравняем полученное в результате выражение выписанной выше частной производной Дифференциальные уравнения.:

Дифференциальные уравнения..

Откуда Дифференциальные уравнения. и Дифференциальные уравнения.. Следовательно, общим интегралом заданного уравнения является: Дифференциальные уравнения..

§ 10. Интегрирующий множитель.

Если уравнение M(X,Y)Dx + N(X,Y)Dy = 0 не является уравнением в полных дифференциалах и существует функция µ = µ(X,Y), такая что после умножения на нее обеих частей уравнения получается уравнение

µ(Mdx + Ndy) = 0 в полных дифференциалах, т. е. µ(Mdx + Ndy)Du, то функция µ(X,Y) называется интегрирующим множителем уравнения. В случае, когда уравнение уже есть уравнение в полных дифференциалах, полагают µ = 1.

Если найден интегрирующий множитель µ, то интегрирование данного уравнения сводится к умножению обеих его частей на µ и нахождению общего интеграла полученного уравнения в полных дифференциалах.

Если µ Есть непрерывно дифференцируемая функция от X и y, то Дифференциальные уравнения..

Отсюда следует, что интегрирующий множитель µ удовлетворяет следующему уравнению с частными производными 1-го порядка:

Дифференциальные уравнения. (10.1).

Если заранее известно, что µ= µ(ω), где ω – заданная функция от X и Y, то уравнение (10.1) сводится к обыкновенному (и притом линейному) уравнению с неизвестной функцией µ От независимой переменной ω:

Дифференциальные уравнения. (10.2),

Где Дифференциальные уравнения., т. е. дробь является функцией только от ω.

Решая уравнение (10.2), находим интегрирующий множитель

Дифференциальные уравнения., С = 1.

В частности уравнение M(X,Y)Dx + N(X,Y)Dy = 0 имеет интегрирующий множитель, зависящий только от X (ω = X) или только от Y (ω = Y), если выполнены соответственно следующие условия:

Дифференциальные уравнения., Дифференциальные уравнения.

Или

Дифференциальные уравнения., Дифференциальные уравнения..

 
Яндекс.Метрика
Наверх