Дифференциальные уравнения 06
Контрольная работа №7. Вариант 4.
I. Найти общее решение уравнения
А)
Б)
В)
Г)
Д)
Е)
Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: , . Интегрируем:
Посчитаем интегралы отдельно:
Ответ:
Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: , . Интегрируем:
Посчитаем интегралы отдельно:
Ответ:
В)
Приведём уравнение к виду: ,
Это однородное дифференциальное уравнение. Его вид позволяет сделать замену и свести к уравнению с разделяющимися переменными, получаем
,
Уравнение примет вид ,
Разделяем переменные и интегрируем: , . Посчитаем отдельно:
Тогда .
Выполнив обратную замену, находим общий интеграл исходного уравнения – решение, записанное в неявном виде:
Ответ:
Г)
Приведём уравнение к виду: ,
Это однородное дифференциальное уравнение. Его вид позволяет сделать замену и свести к уравнению с разделяющимися переменными, получаем
,
Уравнение примет вид ,
Разделяем переменные и интегрируем: , . Посчитаем отдельно:
Тогда .
Выполнив обратную замену, находим общий интеграл исходного уравнения – решение, записанное в неявном виде:
Ответ:
Д)
Приведём уравнение к виду:
Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где U И V две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим
или
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве V одно из частных решений уравнения
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Интегрируя, находим
Подставим найденную функцию V Во второе уравнение . Получим откуда
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию И:
Возвращаясь к функции У, получим
Ответ:
Е)
Данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Оно имеет вид .
Проверим выполнение условия:
- условие выполняется.
Поэтому - дифференциал некоторой функции . Следовательно данное уравнение может быть записано в виде
При этом, .
Интегрируем первое равенство по х, получим , где - неизвестная функция, которую ещё предстоит найти.
Дифференцируем U по у, имеем
.
Тогда используя то, что , получим или , тогда , и, следовательно,
Ответ:
II. Решить задачу Коши
,
Решение
Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: , . Интегрируем:
Посчитаем интегралы отдельно:
Тогда: или
Используем начальное условие
По данному условию невозможно определить значение постоянной С.
Ответ:
III. Решить уравнения
А)
Б)
Решение
А)
Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда .
Отсюда - уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем: , ,
Интегрируя, находим
Получим ,
Возвращаясь к функции У, получим
- функция Доусона
Ответ: , - функция Доусона
Б)
Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной х, полагаем , где - новая неизвестная функция. Тогда по формуле для производной сложной функции имеем:
Получим уравнение первого порядка относительно :
Разделим переменные и проинтегрируем ,
Посчитаем отдельно
Тогда
Выполним обратную подстановку;
. Интегрируем
Ответ:
IV. Решить уравнения
А)
Б)
Решение
А)
Составим характеристическое уравнение ,
Так как его корни действительны и кратные (), общее решение исходного уравнения имеет вид .
Ответ:
Б)
Решим соответствующее однородное уравнение
Составим характеристическое уравнение
Так как его корни действительны и различны (), общее решение однородного уравнения имеет вид .
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда , .
Подставим в исходное
Тогда частное решение
Общее решение неоднородного примет вид:
Ответ:
V. Решить задачу Коши
,
Решение
Решим соответствующее однородное уравнение
Составим характеристическое уравнение
Так как его корни действительны и различны (), общее решение однородного уравнения имеет вид .
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда , .
Подставим в исходное
Тогда частное решение
Общее решение неоднородного примет вид:
Используем начальные условия
Тогда окончательно
Ответ:
< Предыдущая | Следующая > |
---|