Дифференциальное исчисление 02
№4
1. Найти частные производные функции
2. Найти и , если, где
3. Найти экстремумы функции
Решение
Найдем частные производные функции .
Решим систему уравнений.
2x+3y2-15 = 0
6xy-12 = 0
Получим:
Полученное уравнение не имеет действительных корней, следовательно, функция не имеет экстремумов
4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем одинаковые углы со всеми координатными осями.
Решение
По формуле, производная в т. М. по направлению вектора имеет вид
Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:
По условию - вектор, составляющий одинаковые углы со всеми координатными осями.
Модуль вектора |a| равен: , тогда направляющие косинусы:
Найдём ,
Окончательно,
5. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
в точке
Решение
Запишем уравнения касательной в общем виде:
Z - z0 = f'x(x0,y0,z0)(x - x0) + f'y(x0,y0,z0)(y - y0)
По условию задачи x0 = π/4, y0 = π/4, тогда z0 = 1/2
Найдем частные производные функции z = f(x, y) = sin(x)*cos(y):
F'x(x, y) = (sin(x)•cos(y))'x = cos(x)•cos(y)
F'x(x, y) = (sin(x)•cos(y))'y = - sin(x)•sin(y)
В точке М0(π/4,π/4) значения частных производных:
F'x(π/4;π/4) = 1/2
F'y(π/4;π/4) = -1/2
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0:
Z - 1/2 = 1/2(x - π/4) + -1/2(y - π/4) или -1/2•x+1/2•y+z-1/2 = 0
Запишем уравнения нормали в общем виде:
Пользуясь формулой, получаем канонические уравнения нормали к поверхности в точке М0:
< Предыдущая | Следующая > |
---|