Дифференциальное исчисление

Решение

Строим график функции

Строим график функции - сжатие графика в раза по оси оХ

Строим график функции - перенос влево на 1

Строим график функции - сжатие графика в раза по оси оУ

Решение

А)

Б) В)

Использовали: при

Г)

Использовали второй замечательный предел:.

Решение

Найдем левый и правый пределы в точке .

Правый предел конечен и равен 0, а левый предел бесконечен. Следовательно, по определению точка разрыва второго рода.

Найдем левый и правый пределы в точке .

, т. е. точка непрерывности функции .

Сделаем схематический чертеж.

Решение

Функция непрерывна для , функция непрерывна в каждой точке из , функция непрерывна в каждой точке интервала .

Точки, в которых функция может иметь разрыв, это точки и , где функция меняет свое аналитическое выражение.

Исследуем точку .

, , .

Таким образом, односторонние пределы существуют, конечны, но не равны между собой. По определению, исследуемая точка – точка разрыва первого рода. Величина скачка функции в точке разрыва равна .

Исследуем точку .

, , . Таким образом, точка есть точка непрерывности функции .

Сделаем схематический чертеж

Решение

А)

Б)

В)

Г)

Прологарифмируем заданную функцию и найдём производные от левой и правой частей:

Тогда

Д)

Здесь функция задана неявным образом. Дифференцируем обе части равенства по ,

Выразим из этого выражения : .

Откуда .

Решение

А)

Б) Найдем ; .

Следовательно, .

Вторая производная

Решение

Ответ:

Решение

Исследуем функцию, заданную формулой: на интервале

Область определения: множество всех действительных чисел

Найдём производную заданной функции:

==

Первая производная:

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

, ,

;

Случай. х=0.

Случай., х=-1, х=1.

Критические точки: х=-1, х=0, х=1

В интервал попадает только две критические точки:

Найдём значение функции в критических точках и на концах интервала .

, ,

Получили ,

Решение

Решение

Исследуем функцию, заданную формулой:

Область определения: множество всех действительных чисел

Найдём первую производную:

===

====

Первая производная:

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение. , х=0

Критические точки: х=0

Найдём вторую производную:

Вторая производная это производная от первой производной.

===

====

===

Вторая производная:

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

, , , .

Возможные точки перегиба:

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю. , , .

Точки пересечения с осью х: х=-1, х=1

Точки пересечения с осью у: у=-1. Пусть х=0,

Вертикальные асимптоты: нет. Наклонные асимптоты: нет.

Для нахождения горизонтальных асимптот преобразуем исходное выражение. ==

Горизонтальные асимптоты: у=1 .

Предел данной функции на бесконечности равен числу 1.

Точки разрыва: нет

Симметрия относительно оси ординат: функция четная, график симметричен относительно оси.

Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x).

====

Симметрия относительно начала координат: нет

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x).

Тестовые интервалы:

Результаты исследования функции занесем в таблицу.

Относительные экстремумы:

Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+). Относительный минимум .

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

Множество значений функции:

Наименьшее значение:

Наибольшее значение: нет