Числовые ряды, ряды фурье и преобразование Фурье
Задание 1
Исследовать на сходимость числовые ряды.
А)
Б)
А) Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Рассмотри ряд из модулей:
При n→∞: →0, поэтому применим формулу при , тогда получим ряд , а этот ряд сходится как сумма геометрической прогрессии.
- следовательно, на основании второго (предельного) признака сравнения заключаем, что исходный ряд сходится абсолютно.
Б) Воспользуемся интегральным признаком Коши:
Следовательно, исходный ряд расходится, так как расходится соответствующий несобственный интеграл.
Задание 2
Исследовать знакочередующийся ряд На абсолютную и условную сходимость.
1) Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
;
Используем 2й признак сравнения:
Так как ряд расходится как обобщённый гармонический. Следовательно, данный ряд не сходится абсолютно.
Исследуем ряд на условную сходимость.
Так как ряд сходится по признаку Лейбница (,) , то сходится условно по 2му признаку сравнения и ряд
Следовательно, данный ряд сходится условно.
Задание 3
Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости.
Решение
Найдём интервал сходимости ряда ,
Тогда или , .
Ряд сходится абсолютно на интервале (-8;-2)
Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:
При x=-8 исходный ряд примет вид , данный ряд является знакопеременным, исследуем его на абсолютную сходимость:
Воспользуемся вторым признаком сравнения: , , . Следовательно и сходятся или расходятся одновременно, а так как ряд расходится (Так как ряд Дирихле
Расходится при р<1), то ряд не сходится абсолютно.
Данный ряд сходится условно по признаку Лейбница: И .
При х=-2 исходный ряд примет вид . Как мы убедились выше этот ряд расходится.
Значит степенной ряд имеет интервал абсолютной сходимости: . В т. х=-8 ряд сходится условно.
Задание 4
Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости полученного ряда. Найти , если Варианта.
А)
Б)
Решение
А) Преобразуем исходное выражение:
Тогда используем стандартное разложение:
, тогда
Используем стандартное разложение:
, тогда
Подставим:
Б) Преобразуем исходную функцию к виду:
Воспользуемся стандартным разложением:
Имеем окончательно:
Задание 5
Используя признак Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость функционального ряда на указанном промежутке.
Решение
Исходя из неравенств
на
Максимум числителя при n=2, то есть , 3/2<2
Минимум знаменателя на при ,
Имеем: - мажорирующий ряд.
Если мажорирующий ряд сходится, то функциональный ряд сходится равномерно.
Ряд сходится как сумма геометрической прогрессии.
Следовательно, мажорирующий ряд сходится.
А значит сходится и функциональный ряд на промежутке .
Задание 6
А) Разложить функцию , заданную па полупериоде , в ряд Фурье по косинусам. Построить графики второй, третьей, десятой частичных сумм. Написать равенство Парсеваля для полученного ряда. Сумму какого числового ряда можно отыскать с помощью полученного равенства?
Б) Разложить функцию , заданную на полупериоде , в ряд Фурье по синусам. Построить графики второй, третьей, десятой частичных сумм. Указать тип сходимости полученного ряда.
В) Разложить функцию в ряд Фурье, продолжая ее па полупериод функцией, равной 0. Построить графики второй, четвертой, десятой частичных сумм. Указать тип сходимости полученного ряда.
Решение
а) Доопределим функцию на промежутке чётным образом и продолжим её на всю числовую ось как периодическую с периодом, равным 2. - чётная функция. Тригонометрический ряд Фурье содержит только косинусы. Вычислим коэффициенты Фурье этой функции.
, следовательно
,
Так как рассматриваемая функция непрерывна всюду, то сумма её ряда Фурье равна данной функции при всех х и .
При Имеем и
Равенство Парсеваля:
, так как , то
Б) Доопределим функцию на промежутке нечётным образом, а значение в т : и продолжим её на всю числовую ось как периодическую с периодом, равным 2. Согласно теореме Дирихле тригонометрический ряд Фурье такой функции будет сходиться к этой функции во всех точках непрерывности. Вычислим коэффициенты Фурье этой функции.
Так как рассматриваемая функция непрерывна всюду, то сумма её ряда Фурье равна данной функции при всех х и .
Так как функция кусочно-дифференцируема на то ряд Фурье сходится в среднем на
В) Разложим в ряд Фурье функцию
Т=2
Вычислим коэффициенты Фурье этой функции
, следовательно
,
Ряд Фурье имеет вид:
Ряд Фурье сходится в среднем (аналогично пункту б)
Задание 7
Методом Фурье найти решение уравнения колебания струны длины , закреплённой на концах и удовлетворяющей следующим
Начальным условиям: ,
,
Решение
Решение ищем в виде ряда
, где l=2 по условию.
Так как , а По условию, то решение имеет вид:
, где
Окончательно:
Задание 8
Найти приближённое решение задачи Коши ; ;
Решение задачи Коши ищется в виде степенного ряда , коэффициенты которого вычисляются последовательно. Ограничиваясь суммой , содержащей N + 1 член рада, получаем приближенное решение. Оценка погрешности этого решения в работе облегчается тем, что получающиеся степенные ряды знакочередующиеся. Требуется, чтобы эта погрешность не превосходила 0,001 при .
Решение
Ищем решение в виде: , тогда
,
,
Используя начальные условия, найдём значения двух коэффициентов ; .
Подставим ряды в заданное уравнение и приводим подобные члены. Получаем:
Приравнивая все коэффициенты ряда, стоящего в первой части, к нулю (только при таком условии ряд будет тождественно равен нулю), получим систему:
,, , , тогда из которой определяем следующие значения всех остальных коэффициенов
, ,,…,,…
Таким образом искомый частный интеграл данного уравнения есть степенной ряд
, который сходится при любом значении x (согласно признаку Даламбера )
Оценим погрешность. Она не должна превосходить 0,001 при
Так как , то достаточно взять первые 2 члена ряда
Задание 9
Приближенно вычислить определенный интеграл
Для вычисления интеграла функцию f(x) разлагают на отрезке интегрирования в степенной ряд, который интегрируют почленно. Ограничившись несколькими первыми слагаемыми полученного таким образом числового ряда, имеем приближенное значение интеграла. В работе погрешность приближения не должна превышать 0.0001, и оценка этой погрешности упрощается по тем же причинам, что и в задаче 8.
Решение
Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена
, при
Тогда
Имеем
Получен знакочередующийся ряд, слагаемое меньше чем 0.0001. Отбрасывая это слагаемое, получим приближённое значение интеграла с заданной точностью
Задание 10
А) Найти преобразование Фурье (спектральную плотность S(u)) следующих функций (сигналов).
Б) Продолжить периодически функцию (сигнал) с интервала [0,Т] (или [-Т/2,Т/2], см. рисунок) на всю числовую прямую, разложить в ряд Фурье. Построить графики второй и третьей частичных сумм.
Решение
а) Найдём функцию, по рисунку. Прямая проходит через 2 точки: И . Запишем уравнение искомой прямой: . Имеем:
Следовательно, исходный сигнал описывается следующей формулой:
Спектральную плотность S(u) найдем с помощью прямого преобразования Фурье:
Первый интеграл берем по частям: U=t dU=dt dV=e-jutdt V=-(e-jut)/(ju),
Б) Продолжим функцию нечётным образом, тогда
Ряд Фурье имеет вид:
Графики частичных сумм:
< Предыдущая | Следующая > |
---|